Параметры гиперболы

Точки F₁(–c, 0), F₂(c, 0), где называются фокусами гиперболы (рис. 9.10), при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом отрезок А₁А₂ = 2а образует действительную ось гиперболы, а отрезок В₁В₂ = 2b – мнимую ось (В₁(0, –b), B₂(0, b)), точка О – центр гиперболы.

Рис. 9.10

Основные параметры гиперболы, характеризующие ее форму:

величина называется эксцентриситетомгиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

– фокальные радиусыгиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r₁ = a + εx, r₂ = –a + εx – для точек правой ветви гиперболы, r₁ = – (a + εx), r₂ = – (–a + εx) – для точек левой ветви;

– директрисыгиперболы;

– асимптоты гиперболы.

Для гиперболы справедливо: ε > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(9.12)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 9.11). Его можно записать также в виде

В таком случае отрезок В₁В₂ образует действительную ось, а А₁А₂ – мнимую, вершины находятся в точках В₁(0; –b) и B₂(0; b), фокусы – F₁(0; –c) и F₂(0; c), эксцентриситет уравнения директрис

Рис. 9.11

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2a (рис. 9.10) или 2b (рис. 9.11).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-век­тором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы 9x² – 16y² = 144 к каноническому виду, найти ее параметры, угол между асимптотами, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F₁(–5, 0) и F₂(5, 0), эксцентриситет ε = 5/4, директрисы D₁ и D₂ описываются уравнениями D₁: x = –16/5, D₂: x = 16/5, асимптоты l₁ и l₂ имеют уравнения

Сделаем рисунок: на координатных осях Ox и Oy симметрично относительно точки О(0, 0) отложим отрезки А₁А₂ = 2а = 8 и В₁В₂ = 2b = 6 соответственно (рис. 9.12). Через полученные точки А₁(–4, 0), А₂(4, 0), В₁(0, –3), В₂(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник, диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу.

Рис. 9.12

Для нахождения угла φ между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

Получаем уравнение

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось мнимая полуось (рис. 9.13).

Рис. 9.13

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать рисунок.

Решение.Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

или

Действительная полуось b = 3, мнимая а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B₁(0, –3) и В₂(0, 3); ее фокусы находятся в точках F₁(0, –5) и F₂(0, 5); эксцентриситет ε = с/b = 5/3; директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями D₁: y = –9/5, D₂: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 9.14).

Рис. 9.14

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются «вспомогательный прямоугольник» и асимптоты.

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса заданной системы координат на вектор где (x₀, y₀) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O¢(x₀; y₀), а значит, действительная ось задается уравнением у = у₀,а мнимая – уравнением х = х₀. Ее вершинами являются точки а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями:

или

Пример 5.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение.Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что ее фокусы:

а вершины –

Значит, основные параметры гиперболы следующие:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы: