Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа e найдется такой номер n(e) (зависящий от e), что, начиная с этого номера (т. е. для всех n ³ n(e)), будет выполняться неравенство

(10.1)

Обозначают:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (х_n), то в произвольную, сколь угодно малую e-окрестность точки а попадают все члены данной последовательности, начиная с некоторого номера n(e).

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.

Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;

3) для того чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где – бесконечно малая последовательность.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер что для всех n, начиная с этого номера выполняется неравенство

Если последовательность (х_n) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут

Последовательность не имеет предела в двух случаях:

1) предел не определен;

2) последовательность является бесконечно большой.

Если (x_n) – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Если (x_n) – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Если последовательности (x_n), (у_n) имеют пределы, то справедливы следующие свойства:

1) где

2)

3)

4) где

Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.

При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределенности вида Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение. Выбираем произвольное число Согласно определению, число 3 является пределом последовательности (x_n), если сможем указать такой номер что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (10.1), которое в нашем случае имеет вид:

(10.2)

Неравенство (10.2) равносильно неравенству

т. е. или

Поскольку и из последнего неравенства получаем:

В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (10.2), может быть выбрано натуральное число

Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (10.1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.

Пример 2. Вычислить предел последовательности:

1) 2)

3)

Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так как непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа

Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т. е. на n³, и получим:

так как при последовательности и стремятся к нулю.

Таким образом, приходим к ответу:

2) Так как по определению факториала

то получаем:

Делением на старшую степень выражения, т. е. на n³, убеждаемся, что

3) Поскольку при имеем и то выражение дает неопределенность типа Умножив и разделив выражение на сопряженный множитель получим:

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т. е. на тогда:

Таким образом, получаем ответ: