Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают , т. е.

– n-й член последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Зная функцию и номер n, можно вычислить любой член последовательности.

Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.

Последовательность может быть задана:

1) аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные);

2) реккурентным способом (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены последовательности через предыдущие);

3) геометрически (точками на числовой оси, соответствующими конкретным значениям n);

4) графическим способом (задаются точки на координатной плоскости);

5) словеснымописанием;

6) табличным способом.

Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т. е. если

Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т. е.

Последовательность называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т. е.

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, т. е.

Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, что выполняется неравенство

Если существует такое число M, что то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что то последовательность называется ограниченной снизу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство

Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности если

Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдется такой номер для которого выполняется равенство Решим это квадратное уравнение т. е. Числа следовательно, число 28 не является членом данной последовательности.

Пример 2. Вычислить первые пять членов последовательности , если . Определить, для каких членов последовательности выполняется условие .

Решение. Подставляя в формулу общего члена значение n = 1, 2, 3, 4, 5, получим:

Решим неравенство

Решением этого неравенства будут Поэтому, для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие

Пример 3. Последовательность задана следующим образом (реккурентно): и . Вычислить первые четыре ее члена.

Решение. Первый член последовательности известен: Для вычисления в заданной формуле для положим Получим:

Для вычисления в формуле выбираем Тогда выразится через найденный член

Аналогично:

Пример 4.Последовательность задана формулой общего члена: Задать таблично первые восемь ее членов, изобразить их геометрически и графически.

Решение. Вычислим первые восемь членов заданной последовательности и заполним таблицу:

n

Для геометрической иллюстрации изобразим на числовой оси члены последовательности (рис. 10.1).

Рис. 10.1

В системе координат укажем точки плоскости, которые имеют координаты для (рис. 10.2).

Рис. 10.2

Пример 5. Доказать, что последовательность является строго убывающей.

Решение. Если последовательность строго убывающая, то выполняется неравенство или

Вычисляем:

Составим отношение:

Поскольку то верно неравенство

Получаем для любых натуральных n.

Значит, последовательность является строго убывающей.

Пример 6. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Запишем формулу общего члена последовательности следующим образом:

Так как и то а поэтому

и

Следовательно, последовательность является ограниченной сверху.

Поскольку неравенство выполняется для всех то

Значит, последовательность является также ограниченной снизу.

Приходим к выводу, что – ограниченная последовательность.