Прямая на плоскости
Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости.
1. Если задан ненулевой направляющий вектор 
и радиус-вектор 
некоторой фиксированной точки 
то в этом случае радиус-вектор 
произвольной точки 
задается формулой
(9.1)
где 
Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.
2. Если 
– координаты точки 
которая лежит на прямой L, (l, m) – координаты направляющего вектора 
то прямая задается параметрическими уравнениями:
3. Если 
– направляющий вектор, такой, что 
и 
– точка, через которую проходит прямая, то имеем каноническое уравнение:
(9.2)
4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение 
По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке 
уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:
– это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М0.
В случае, если 
– точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:
5. Координаты направляющего вектора 
прямой L могут быть найдены, если известны две точки 
и 
этой прямой: 
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(9.3)
6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M0(a, 0) и M1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:
7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор 
этой прямой и точка 
Условие перпендикулярности векторов 
позволяет перейти к векторному уравнению
и затем к его координатной форме:
или
(9.4)
где 
Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L.
8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор 
направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.
то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:
где 
– расстояние от начала координат до прямой.
Величина δ(M0, L) = x0cos α + y0cos β – p, где 
называется отклонением точки М0 от прямой L. При этом δ < 0, если точки M0 и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d(M0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.
От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:
где 
Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле
(9.5)
Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых.
При этом возможны частные случаи:
Здесь L1 и L2 – прямые на плоскости, для которых 
– угловые коэффициенты соответственно прямых 
и 
В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид
ρcos(φ – φ0) = p,
где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1, 2), B(–1, –3), C(2, –1). Найти:
1) уравнение прямой BC;
2) уравнение высоты AH и ее длину;
3) уравнение медианы BM;
4) угол между прямыми BM и AH;
5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.
Решение. 1) Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой (9.3), проходящей через две заданные точки. Так как B(–1, –3), C(2, –1), имеем:
Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:
2(x + 1) = 3(y + 3) или 2x – 3y – 7 = 0.
Таким образом, окончательно получаем:
ВС: 2x – 3y – 7 = 0.
2) Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является 
, т. е. 
Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Следовательно, каноническое уравнение прямой AH согласно формуле (9.2) имеет вид:
(9.6)
где А(1, 2) 
АН.
В общем виде получим АН: 3х + 2у – 7 = 0.
Чтобы найти длину высоты 
АВС, опущенной из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (9.5):
3) Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:
Получим M(3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B(–1, –3) и 
используя формулу (9.3):
Приведя его к общему уравнению, получим:
ВМ: 7x – 5y – 8 = 0.
4) Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами:
Получаем 
5) Пусть точка M(x, y) лежит на биссектрисе угла BАС. Тогда по свойству биссектрисы d(M, AB) = d(M, AC). Запишем уравнения прямых АВ и АС. Имеем:
Следовательно,
Аналогично
т. е. 
Используем формулу расстояния (9.5):
Следовательно,
По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем:
Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):
Пример 2. Даны две точки A(–3, 8) и B(2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.
Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьший путь между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB¢ (рис. 9.1) с осью Ox, где B¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A¢B с осью Ox, где A¢ – точка, симметричная точке А относительно оси Ox).
Рис. 9.1
Точки B¢(2, –2) и A(–3, 8) определяют прямую AB¢:
т. е. 
или 
Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений: 
Решаем ее:
Итак, точка М(1, 0) является искомой.
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
(9.7)
где
(9.8)
Уравнение (9.7) называется каноническим уравнением эллипса.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 925;