N-мерные векторы

Декартово произведение множества действительных чисел само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают и его можно отождествить с плоскостью. Множество состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде . Число называется первой координатой -мерного вектора , – второй координатой и т.д., а число – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и через операции над их координатами.

В общем случае и – это –мерные векторы, т.е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. . Длиной –мерного вектора называется число . Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор – нулевой.

Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.

Теорема. Если и – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:

Доказательство: Рассмотрим вектор , где – любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать:

Если предположить, что , то справедливо следующее:

Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения:

.

Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно:

.

Теорема. Ненулевые –мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.

Доказательство:

Необходимость:

Достаточность:

Пусть и









Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 804; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.