Векторы и линейные операции гад векторами
1)Определение вектора
Опр. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначение
.
Опр. Длиной вектора или модулем вектора называется длина направленного отрезка Обозначается .
Опр. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором. Обозначается . Нулевой вектор имеет произвольное направление.
Опр. Векторы и
называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение
.Если векторы со направлены, то
противоположно направлены
.
Опр. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Опр. Приведем векторы к одному началу. Угол между векторами это кратчайший угол, на который нужно повернуть один вектор до совмещения его со вторым.
.
Обозначение .
Опр. Векторы и
называются равными
, если они со направлены и их дины равны.
2)Линейные операции над векторами
Опр. Суммой векторов и
называется вектор
, который определяется следующим образом:
Обозначается .
Опр.Произведением числа на вектор
называется вектор
, который определяется следующим образом
,
, если
и
, если
,
, если
или
.
Основные свойства линейных операций
1) следует из определения суммы векторов.
2)
3)
– числа.
4) . Докажите сами.
5) . Доказательство следует из рисунка.
Теор. Если и
, то найдется число
такое, что
.
Доказательство: 1) Если , тогда
. 2)Если
,, то
.Это следует из определения произведения вектора на число.
Опр. Разностью векторов и
называется вектор
такой, что
. Обозначается
.
§2 Линейная зависимость векторов. Базис. Система координат.
1)Линейная зависимость векторов.
Опр.Пусть даны векторы . Выражение
, где
– числа, называется линейной комбинацией векторов
,а числа
- коэффициентами линейной комбинации.
Опр. Векторы называются линейно независимыми, если
в том и только в том случае, когда
в противном случае – линейно зависимыми.
Два признака линейной зависимости.
1)Если среди векторов есть нулевой вектор. Действительно при этом векторе может стоять любой коэффициент, а при остальных векторах коэффициенты равны 0.
2)Если среди векторов часть линейно зависима, то и все векторы линейно зависимы. Действительно, если часть векторов линейно зависима, то их линейная комбинация будет равна 0, а коэффициенты при некоторых из них могут отличаться от нуля.
Теор. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарные.
Доказательство.
Необходимость. Дано: векторы и
линейно зависимы. Если среди них есть нулевой вектор, то векторы коллинеарные (нулевой вектор имеет произвольное направление), если векторы не равны нулю,
, а хотя бы один коэффициент (например
) отличен от нуля. Тогда
. Из определения умножения вектора на число следует, что векторы
и
коллинеарные.
Достаточность.
Дано: векторы и
коллинеарные. Если среди них есть нулевой вектор, то векторы линейно зависимы. Если нулевого вектора нет, то
.Линейная комбинация равна 0, а коэффициенты не равны нулю.
Теор. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными. Доказательство аналогичное предыдущему. При этом нужно рассмотреть случаи, когда среди них есть нулевой вектор и коллинеарные векторы.
Теор. Четыре вектора всегда линейно зависимы. Доказательство аналогичное. Нужно рассмотреть случаи, когда среди них есть нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.
2)Базис. Разложение по базису.
Опр. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных векторы.
Очевидно, среди базисных векторов не может быть нулевого вектора.
Опр. Базисом в пространстве называется три некомпланарных вектора.
Теор. Любой вектор компланарный базисным векторам
может быть представлен в виде линейной комбинацией векторов
(
) .
Доказательство.
Так как векторы компланарные, то их линейная комбинация
, а хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Очевидно, что коэффициент
, в противном случае все коэффициенты равны 0 (векторы
линейно независимы).
. Докажем, что это представление единственное. Докажем от противного. Предположим, что не единственное.
. Вычитая получим
.Так как векторы
линейно независимы, то
.
Теор. Любой вектор в пространстве может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов
. Это представление единственное.
Доказательство аналогичное.
Опр. Коэффициенты линейной комбинации в разложении вектора по базисным векторам называются координатами вектора
в данном базисе.
,
– координаты вектора. Обозначение
.
Линейные операции над векторами в координатной форме.
Пусть ,
.
.
Обычно используют ортонормированный базис. Базисные векторы взаимно перпендикулярные и
.
3)Система координат.
Опр. Совокупность точки и базиса называется системой координат.
Точка О называется началом координат.
Опр. Прямые, проходящие через начало координат параллельно базисным векторам называются осями координат. Прямая параллельная вектору – ось абсцисс, вектору
– ось ординат, вектору
– ось аппликат. Плоскости, проходящие через начало координат параллельно двум базисным векторам называются координатными плоскостями.
Задав начало координат, можно каждой точке M на плоскости или в пространстве поставить в соответствие вектор . Координаты этого вектора в данном базисе
называются координатами точки M в данной системе координат. Обозначается
. Так как вектор определяется началом и концом вектора, то вектор
можно найти как разность
4)Проекция вектора на ось.
Опр. Прямая с заданными началом отсчета, масштабом и направлением называется осью.
Направление можно задать вектором. Проекция токи на ось это основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.
Пусть – произвольный вектор
.
Проекцией вектора на ось
называется разность
.Обозначается
. Если координаты точек
обозначить
, то
.
– угол между вектором
и осью
.
.
Теор. Проекция вектора на ось
равна длине вектора
, умноженной на
.
Доказательство очевидно.
Свойства проекции.
1)Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2)Проекции суммы нескольких векторов на одну и ту же ось ось равна сумме их проекций на эту ось.
.
3) . Докажите самостоятельно.
5)Прямоугольная система координат.
.
– свойство направляющих косинусов.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Лекция №2. Эволюция насекомых и близких к ним групп. | | | Строение Земли и земной коры |