N-мерные векторы и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных в предыдущем разделе, в которых определены операции сложения и умножения на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность вещественных чисел, записываемых в виде , где - -ая компонента вектора .

Понятие -мерного вектора широко используется в экономике. Например, если некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора =(50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Два -мерных вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны, т.е. , если для каждого .

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹
¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Суммой двух векторов одинаковой размерности называется вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. для каждого .

Произведением вектора на вещественное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. для каждого .

Линейные операции над любыми векторами должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. - свойство коммутативности суммы;

2. - ассоциативное свойство суммы;

3. - ассоциативное относительно числового множителя свойство суммы;

4. - дистрибутивное относительно векторов свойство;

5. - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6.Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора ;

7.Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8. для любого вектора .

Множество векторов, в котором определены операции сложения и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше восьми аксиомам, называется векторным пространством.