Примеры векторных пространств.

1. Пространство геометрических векторов на плоскости .

2. Пространство геометрических векторов в трехмерном пространстве .

3. Множество многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше образует векторное пространство относительно операций сложения многочленов и умножения многочлена на вещественное число. Заметим для сравнения, что множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу , не является векторным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов (сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже . Также множество многочленов степени не выше , но с положительными коэффициентами, не является векторным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа. упорядоченные совокупности произвольных вещественных (комплексных) чисел .

4. Множество матриц одинаковых размеров образуют векторное пространство относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число. В частности, часто встречается и используется векторное пространство матриц-строк ( ). Для него принято другое обозначение – ( ). Элементами этого векторного пространства служат упорядоченные совокупности произвольных вещественных (комплексных) чисел .

5. (Нестандартный пример). Рассмотрим множество всех положительных вещественных чисел. Определим «сумму» двух элементов как произведение вещественных чисел и (понимаемое в обычном смысле): . «Произведение» элемента на вещественное число определим как возведение числа в степень : . Нулевым элементом пространства будет служить вещественное число , а противоположным элементом (для данного элемента ) будет число . Проверьте выполнение аксиом векторного пространства (которые в обычной записи принимают другой вид: вместо мы имеем и т.д.). В этом примере, быть может, для обозначения суммы элементов пространства и для произведения элемента пространства на число предпочтительнее другие обозначения (например, и ).

Некоторые свойства произвольных векторных пространств.

Из определения векторного пространства следует ряд утверждений, справедливых для произвольных векторных пространств.

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой элемент.

Доказательство. Предположим, что в пространстве существуют два нулевых элемента и . Тогда, полагая в аксиоме 3 сначала , , а затем , , получим два равенства и , левые части которых равны в силу аксиомы 1. Следовательно, равны и правые части этих равенств, т.е. , и единственность нулевого элемента установлена.

2. Для каждого элемента векторного пространства cуществует единственный противоположный элемент.

Доказательство. Предположим, что для некоторого элемента существуют два противоположных элемента и , так что и . Но тогда в силу аксиом 3, 2 и 1 получим

,

т.е. , и единственность для каждого противоположного элемента доказана.

3. для любого элемента векторного пространства.

Доказательство. Пусть – произвольный элемент векторного пространства , а – ему противоположный. Последовательно применяя аксиомы векторного пространства (3, 4, 2, 5, 1, 7, 5, 4), будем иметь

.

4. Для любого элемента векторного пространства противоположный ему элемент равен произведению элемента на число , т.е.

Доказательство. Имеем: , так что элемент является противоположным для .

Отметим также, что из определения векторного пространства следует существование и единственность разностилюбых двух элементов векторного пространства и , которая определяется как элемент , удовлетворяющий условию . Этим элементом служит сумма .