Линейно зависимые и независимые векторы

Вектор называется линейной комбинациейвекторов векторного пространства с коэффициентами , если он равен сумме произведений этих векторов на эти коэффициенты

, (3.7)

где - произвольные вещественные числа.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Линейная комбинация вида называется тривиальной. Очевидно, что она равна нулевому вектору .

Векторы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е. существуют такие , не равные одновременно нулю, что

= .. (3.8)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если из равенства (3.8) следует, что все коэффициенты . Аналогично, векторы линейно зависимы, если равенство (3.8) выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора на плоскости.

Действительно, условие (3.8) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо, если, например, , то , и векторы и коллинеарны, что противоречит условию.

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы линейно зависимы

Теорема 3.1. (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, т.е. справедливо равенство

= ..,

в котором хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Пусть, для определенности, . Тогда, разделив обе части последнего равенства на , мы можем переписать его в виде

.

Последнее и означает, что вектор есть линейная комбинация векторов .

Достаточность. Пусть один из векторов (например, ) является линейной комбинацией остальных. Это означает, что найдутся числа такие, что справедливо равенство

.