Векторы на плоскости и в пространстве.

Тема 3. Векторные пространства

Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой (рис. 3.1). Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной со стрелкой, например: .

Рис. 3.1

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор.

Если начало и конец вектора совпадают, например, , то такой вектор называется нулевым и обозначают .

Длина нулевого вектора равна нулю .

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если

Противоположным вектором называется произведение вектора на число , т.е. .

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора при условии, что начало вектора вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника).

Очевидно, что вектор представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов , , и есть вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Нетрудно убедиться, что вектор , определяемый таким образом, представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , и , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда).

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору (рис 3.4).

Рис. 3.4.

Легко убедиться, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна диагональ - вектор - представляет сумму векторов и , а другая диагональ - вектор - их разность (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.

Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на плоскости являются два числа и ( - рис. 3.6), а в пространстве - три числа , и ( - рис. 3.7).

Рис. 3.6. Рис. 3.7.

В соответствии с определениями, приведенными выше, нетрудно показать, что суммой и разностью векторов и являются векторы

,

,

А произведение вектора на число есть вектор .

На рис. 3.6 и 3.7 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

. (3.1)

Если вектор составляет угол с осью , то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла

.

Проекция суммы векторов и на ось равна сумме проекций этих векторов на эту ось

.

Косинусы углов , , , образованных вектором с осями координат, находятся в виде отношений

.

и называются направляющими косинусами.

Равенство используется для выражения вектора через его проекции на заданные координатные оси.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов и записывается в виде

где - числовой множитель. Через координаты это условие записывается в виде

.

Очевидно, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

= = .

Выразим скалярное произведение через координаты векторов и . Из треугольника (рис. 3.5), сторонами которого являются , и , по теореме косинусов следует, что

,

откуда

, (3.2)

Так как по формуле (3.1) длины векторов , и равны соответственно

,

,

,

после преобразования выражения (3.2) получим

= = , (3.3)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю

или =0

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ;

2) .

Заметим, что при угол и

. (3.4)

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. В частности, расстояние между двумя точками плоскости и можно рассматривать как длину вектора . Поэтому

= . (3.5)

Угол между векторами и определяется по формуле

(3.6)

Пример 3.1. Даны векторы и . Найти векторы , и длины векторов и .

Решение. По определению , .

По формуле (3.1) найдем длины векторов и

,

Пример 3.2.Для векторов и из примера 3.1 найти скалярный квадрат вектора , скалярное произведение векторов и и угол между ними.

Решение. По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

.

По формуле (3.3) для скалярного произведения векторов и имеем

.

По формуле (3.6) угол между векторами и определяется равенством

,

откуда .

Пример 3.3. Даны два вектора и . Вычислить скалярное произведение двух векторов и . Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .

Решение. Найдем скалярное произведение

Проверим выполнение условия коллинеарности, т.е. . Т.к. , то векторы и не коллинеарны.

Проверим выполнение условия ортогональности, т.е. =0. Поскольку , то векторы и не ортогональны.

Тройка некомпланарных векторов векторов , и называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов , , в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае , , - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Тройка _{1, 2}, ₃ некомпланарных векторов вR³ называется базисом, а сами векторы _{1, 2}, ₃ - базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

= x_{1 1} + x_{2 2}+x_{3 3,}

Числа x₁, x₂, x₃ в соответствии с введенным выше определением являются координатами вектора в базисе _{1, 2}, ₃. Если векторы _{1, 2}, ₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x₁, x₂, x₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать , , .

Будем предполагать, что в пространстве R³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат { , , }.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ,т. е. ê ê = ê ê ê êsin ( ^ ).

2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и

3. Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения вводится обозначение = ´ (иногда векторное произведение обозначают =[ ]).

Если векторы и коллинеарны, то sin( ^ ) = 0 и = 0. В частности, = 0, а векторные произведения ортов: = , = , = .

Если векторы и заданы координатами = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), то

=

где выражение

=

- определитель 3-его порядка.

Если векторное произведение двух векторов и скалярноумножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением

Если векторы , и заданы своими координатами
=(a₁, a₂, a₃), =(b₁, b₂, b₃), = (c₁, c₂, c₃), то

= .

Отметим основные свойства смешанного произведения:

1. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произведение меняет знак

2. Если два из трех данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно нулю.

3. Знаки операций "точка" и "крест" можно менять местами

поэтому смешанное произведение принято записывать в виде , т.е. без скобок и без знаков действий

4. (Условие компланарности) Если три вектора , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю

.

Верно и обратное утверждение.

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
- левая, то <0 и V = - , следовательно V = ê ê.

Пример 3.4. Зная векторы и , на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a.

Решение. Обозначим = , = , =, где ^ , D - основание

C         D А B

перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону . По правилу сложения векторов имеем: + = , = - .Поскольку çç , то = l . Найдем значение l, используя ортогональность векторов и: =0 или (l - )=0, откуда l = / 2. Следовательно, = ( / 2) - .

Пример 3.5.Найти угол между векторами = 2 +4 и = - , где и -единичные векторы и угол между и равен 120^о.

Решение. Имеем:

cos j = /(|a||b|),

=(2 +4 ) ( - ) = 2 ² - 4 ² +2 = 2 - 4+2cos120^o = - 2 + 2(-0.5) = -3; = ; ² = (2 +4 ) (2 +4 ) = 4 ² +16 +16 ² = 4+16(-0.5)+16=12, значит = .

= ; ²== ( - )( - ) = ² -2 + ² =1-2(-0.5)+1 = 3,

значит = . Окончательно имеем: cos j = = -1/2, Þ j = 120^o.

Пример 3.6.Зная векторы = (-3,-2,6) и = (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD.

Пусть = Тогда AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2 ç ´ ç. = + , значит, вектор имеет координаты
(-5,2,10). ´ = = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
= -16(2`i +`k ). ç ´ ç = = 16 ; S = 8 , откуда
AD = = .

Пример 3.7. Даны два вектора =(11,10,2) и =(4,0,3). Найти единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора через x, y, z.

Поскольку ^ , ^ , то = 0, = 0. По условию задачи требуется, чтобы = 1 и >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x, y, z:

11x +10y + 2z = 0,

4x+3z=0,

x² + y² + z² = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x² = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие >0, получим неравенство

> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = - , z =- .