Векторы на плоскости и в пространстве.
Тема 3. Векторные пространства
Векторы на плоскости и в пространстве.
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой
и конечной точкой
(рис. 3.1). Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной со стрелкой, например:
.
Рис. 3.1
Длиной (или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка
, изображающего вектор.
Если начало и конец вектора совпадают, например, , то такой вектор называется нулевым и обозначают
.
Длина нулевого вектора равна нулю .
Произведением вектора на число
называется вектор
, имеющий длину
, направление которого совпадает с направлением вектора
, если
, и противоположно ему, если
Противоположным вектором называется произведение вектора на число
, т.е.
.
Суммой двух векторов и
называется вектор
, начало которого совпадает с началом вектора
, а конец - с концом вектора
при условии, что начало вектора вектора
совпадает с концом вектора
(правило треугольника).
Очевидно, что вектор представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах
и
(рис. 3.2).
Рис. 3.2.
Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов ,
,
и
есть вектор
, начало которого совпадает с началом вектора
, а конец - с концом вектора
(рис. 3.3).
Рис. 3.3.
Нетрудно убедиться, что вектор , определяемый таким образом, представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
, не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда).
Разностью двух векторов и
называется сумма вектора
и вектора
противоположного вектору
(рис 3.4).
Рис. 3.4.
Легко убедиться, что в параллелограмме, построенном на векторах и
, одна диагональ - вектор
- представляет сумму векторов
и
, а другая диагональ - вектор
- их разность (рис. 3.5).
Рис. 3.5.
Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.
Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора
на плоскости
являются два числа
и
(
- рис. 3.6), а в пространстве
- три числа
,
и
(
- рис. 3.7).
Рис. 3.6. Рис. 3.7.
В соответствии с определениями, приведенными выше, нетрудно показать, что суммой и разностью векторов и
являются векторы
,
,
А произведение вектора на число
есть вектор
.
На рис. 3.6 и 3.7 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
или
. (3.1)
Если вектор составляет угол
с осью
, то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла
.
Проекция суммы векторов и
на ось
равна сумме проекций этих векторов на эту ось
.
Косинусы углов ,
,
, образованных вектором
с осями координат, находятся в виде отношений
.
и называются направляющими косинусами.
Равенство используется для выражения вектора
через его проекции на заданные координатные оси.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов и
записывается в виде
где - числовой множитель. Через координаты это условие записывается в виде
.
Очевидно, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
Скалярным произведением двух векторов
и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними:
=
=
.
Выразим скалярное произведение через координаты векторов и
. Из треугольника
(рис. 3.5), сторонами которого являются
,
и
, по теореме косинусов следует, что
,
откуда
, (3.2)
Так как по формуле (3.1) длины векторов ,
и
равны соответственно
,
,
,
после преобразования выражения (3.2) получим
=
=
, (3.3)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Векторы и
называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю
или
=0
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) ;
2) .
Заметим, что при угол
и
. (3.4)
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. В частности, расстояние между двумя точками плоскости
и
можно рассматривать как длину вектора
. Поэтому
=
. (3.5)
Угол между векторами и
определяется по формуле
(3.6)
Пример 3.1. Даны векторы и
. Найти векторы
,
и длины векторов
и
.
Решение. По определению ,
.
По формуле (3.1) найдем длины векторов и
,
Пример 3.2.Для векторов и
из примера 3.1 найти скалярный квадрат вектора
, скалярное произведение векторов
и
и угол между ними.
Решение. По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.
.
По формуле (3.3) для скалярного произведения векторов и
имеем
.
По формуле (3.6) угол между векторами и
определяется равенством
,
откуда .
Пример 3.3. Даны два вектора и
. Вычислить скалярное произведение двух векторов
и
. Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора
и
.
Решение. Найдем скалярное произведение
Проверим выполнение условия коллинеарности, т.е. . Т.к.
, то векторы
и
не коллинеарны.
Проверим выполнение условия ортогональности, т.е. =0. Поскольку
, то векторы
и
не ортогональны.
Тройка некомпланарных векторов векторов ,
и
называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов
,
,
в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае
,
,
- левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Тройка 1,
2,
3 некомпланарных векторов вR3 называется базисом, а сами векторы
1,
2,
3 - базисными. Любой вектор
может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
= x1
1 + x2
2+x3
3,
Числа x1, x2, x3 в соответствии с введенным выше определением являются координатами вектора в базисе
1,
2,
3. Если векторы
1,
2,
3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать
,
,
.
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат { ,
,
}.
Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор
, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
,т. е. ê
ê = ê
ê ê
êsin (
^
).
2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
и
3. Векторы ,
и
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения вводится обозначение
=
´
(иногда векторное произведение обозначают
=[
]).
Если векторы и
коллинеарны, то sin(
^
) = 0 и
= 0. В частности,
= 0, а векторные произведения ортов:
=
,
=
,
=
.
Если векторы и
заданы координатами
= (a1, a2, a3),
= (b1, b2, b3), то
=
где выражение
=
- определитель 3-его порядка.
Если векторное произведение двух векторов и
скалярноумножается на третий вектор
, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением
Если векторы ,
и
заданы своими координатами
=(a1, a2, a3),
=(b1, b2, b3),
= (c1, c2, c3), то
=
.
Отметим основные свойства смешанного произведения:
1. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произведение меняет знак
2. Если два из трех данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно нулю.
3. Знаки операций "точка" и "крест" можно менять местами
поэтому смешанное произведение принято записывать в виде
, т.е. без скобок и без знаков действий
4. (Условие компланарности) Если три вектора ,
и
компланарны, то их смешанное произведение равно нулю
.
Верно и обратное утверждение.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
- левая, то
<0 и V = -
, следовательно V = ê
ê.
Пример 3.4. Зная векторы и
, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a.
Решение. Обозначим =
,
=
,
=
, где
^
, D - основание
C
![]() ![]() ![]() | перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример 3.5.Найти угол между векторами = 2
+4
и
=
-
, где
и
-единичные векторы и угол между
и
равен 120о.
Решение. Имеем:
cos j =
/(|a||b|),
=(2
+4
) (
-
) = 2
2 - 4
2 +2
= 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3;
=
;
2 = (2
+4
) (2
+4
) = 4
2 +16
+16
2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит
=
.
=
;
2== (
-
)(
-
) =
2 -2
+
2 =1-2(-0.5)+1 = 3,
значит =
. Окончательно имеем: cos j =
= -1/2, Þ j = 120o.
Пример 3.6.Зная векторы =
(-3,-2,6) и
=
(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.
Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD.
Пусть =
Тогда AD=2S/BC, BC=
=
= 6,
S = 1/2 ç ´
ç.
=
+
, значит, вектор
имеет координаты
(-5,2,10).
´
=
= i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
= -16(2`i +`k ). ç ´
ç =
= 16
; S = 8
, откуда
AD = =
.
Пример 3.7. Даны два вектора =(11,10,2) и
=(4,0,3). Найти единичный вектор
, ортогональный векторам
и
и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов
,
,
была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора через x, y, z.
Поскольку ^
,
^
, то
= 0,
= 0. По условию задачи требуется, чтобы
= 1 и
>0.
Имеем систему уравнений для нахождения x, y, z:
11x +10y + 2z = 0,
4x+3z=0,
x2 + y2 + z2 = 0.
Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие
>0, получим неравенство
> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.
С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = -
, z =-
.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 2158;