Cобственные значения и собственные векторы матриц

Тема 4. Cобственные значения и собственные векторы матриц. Квадратичные формы.

Cобственные значения и собственные векторы матриц

Число называется собственным числом квадратной матрицы А, а ненулевой вектор - её собственным вектором, соответствующим числу , если выполняется равенство

(4.1)

В равенстве (4.1) матрица А имеет порядок , вектор , .

Множество собственных чисел матрицы называется её спектром.

В литературе встречается и другая терминология: собственные числа иногда называют собственными значениями или характеристическими корнями, а собственные векторы - характеристическими векторами.

Матричное уравнение (4.1) можно переписать в виде

(4.2)

где , - единичная матрица порядка n, , -мерный нуль-вектор.

Матричное уравнение (4.2) представляет собой запись однородной системы линейных уравнений с переменными , , …, . Матрица имеет собственный вектор , если существует нетривиальное решение этой системы. А поскольку система однородная, то нетривиальное решение существует тогда и только тогда, когда матрица системы (4.2) вырожденная, т.е. её определитель равен нулю

(4.3)

Равенство (4.3) является уравнением n-ой степени относительно . Действительно, оно имеет вид

но в определителе n-ого порядка есть член с в n-й степени. Во всех остальных членах определителя степень множителя меньше.

Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением матрицы A, а определитель - её характеристическим многочленом.

Итак, чтобы найти собственные числа матрицы, надо составить и решить её характеристическое уравнение.

Можно доказать, что алгебраическое уравнение n-й степени имеет n комплексных корней; часть корней или все эти корни могут быть вещественными. Среди вещественных корней могут быть и равные (кратные). Если уравнение (4.3) имеет мнимый корень, то оно имеет и сопряженный ему корень, так как все коэффициенты уравнения (4.3) - вещественные числа.

Пример 4.1.Найти собственные числа матрицы A

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение матрицы A

, ;

Итак, матрица A имеет вещественные собственные числа 7 и -2.

Следующая теорема (приводится без доказательства) устанавливает важное свойство характеристического многочлена квадратной матрицы.

Теорема 4.1 ( теорема Гамильтона-Кэли)

Если характеристический многочлен A, то .

Проверим это утверждение на примере.

Пример 4.2. Вычислить для матрицы A из примера 4.1.

Решение. В уравнении подставим вместо матрицу А, умножив свободный член (-14) на единичную матрицу:

Вычислим

Тогда

Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить матричное уравнение (4.2), т.е. систему однородных линейных уравнений, матрица которой - вырожденная. Такая система имеет бесконечное множество решений.

Пример 4.3.Найти собственные векторы матрицы A из примера 4.1.

Решение. Собственные векторы матрицы А, соответствующие собственному числу =7, находим, решая систему

 

 

 

Эта система равносильна одному уравнению , или . Собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу =7, являются векторы , где - любое не равное нулю число. Собственные векторы матрицы А, соответствующие собственному числу =-2, находим, решая систему

Эта система равносильна одному уравнению , или

Собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу =-2, являются векторы , или , .









Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 2288; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.