Укажем свойства собственных чисел матрицы квадратной матрицы.

1.Сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы (т.е. сумме её диагональных элементов)

Проверим это свойство на матрице из примера 4.1.

След матрицы А равен 3+2=5.

2.Произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы.

В нашем примере ; .

3.Число отличных от нуля собственных чисел матрицы А равно её рангу. В частности, все собственные числа матрицы А отличны от нуля в том и только том случае, если матрица А - невырожденная.

Пример 4.4.Найти все собственные числа матрицы А

Решение. Составим характеристическое уравнение данной матрицы

Матрица А имеет три собственных числа

два из которых не равны нулю. Ранг матрицы также равен 2. Действительно,

4.Если собственное число невырожденной матрицы , то - собственное число матрицы .

Докажем это свойство.

Пусть - собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу . Тогда справедливо равенство . Так как матрица существует, умножим на неё обе части равенства, получим

.

Это означает, что есть собственное число матрицы , а вектор - соответствующий ему собственный вектор. Свойство доказано.

5.Если . - собственное число матрицы , то . - собственное число матрицы при любом целом .

Докажем это свойство методом индукции.

Сначала проверим его справедливость при Пусть - собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу . Тогда

т.е. - собственное число матрицы .

Допустим, что это свойство справедливо при показателе степени, равном , т.е.

и докажем, что оно верно при показателе степени, равном .

Умножив обе части последнего равенства на , получим

или

Поскольку , то и окончательно , т.е. число . является собственным числом матрицы . Свойство доказано.

Квадратные матрицы одного порядка, имеющие одинаковые спектры, называются подобными.

6.Квадратные матрицы и подобны.

Для доказательства убедимся, что справедливо равенство

.

В силу свойств 4 и действий с матрицами

.

Следовательно, , т.е. матрицы и имеют одно и то же характеристическое уравнение, и, соответственно, одно и то же множество собственных чисел.

Заметим, что собственные векторы матриц и , соответствующие одинаковым собственным числам этих матриц, вообще говоря, различны. Покажем это на примере.

Пример 4.5. В примерах 4.1 и 4.3 были найдены собственные числа и собственные векторы матрицы . Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение.Матрица имеет собственные числа и , соответствующие им векторы и , . Рассмотрим матрицу , найдем её собственные числа, решив уравнение

, ;

Итак, и , т.е. матрица имеет тот же спектр, что и матрица .

Найдем собственные векторы матрицы . Собственный вектор , соответствующий собственному числу , находим, решая систему уравнений

, .

Собственный вектор , соответствующий собственному числу , находим, решая систему уравнений

, .

Итак, матрицы и подобны, а собственные векторы, соответствующие равным собственным числам этих матриц, различны.

Следует отметить, что задача нахождения собственных чисел матрицы -го порядка, которая, как мы убедились, требует решения алгебраического уравнения -й степени, при становится очень сложной. Однако, собственные числа диагональной матрицы найти легко.

Теорема 4.2. Собственными числами диагональной матрицы являются числа, стоящие на её главной диагонали.

Доказательство. Диагональная матрица -го порядка имеет вид

.

Характеристическое уравнение матрицы таково:

Корнями этого уравнения и, следовательно, собственными числами матрицы являются числа , , … , . Теорема доказана.

В следующих двух теоремах устанавливается, что для любой квадратной матрицы существует подобная ей диагональная матрица.

Теорема 4.3. Если - квадратная матрица порядка , а - невырожденная квадратная матрица того же порядка, то матрица подобна .

Доказательство. Достаточно показать, что характеристические уравнения матриц и равносильны. Докажем сначала следующее тождество:

.

Действительно,

.

Равенство (1) верно ввиду дистрибутивности умножения матриц относительно сложения матриц. Равенство (2) следует из коммутативности умножения матрицы на единичную матрицу, а равенство (3) - из определения обратной матрицы.

С учетом доказанного тождества и свойства определителей получим

.

Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 4.4(о приведении квадратной матрицы к диагональному виду).

Пусть все собственные числа квадратной матрицы различны, - квадратная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы , соответствующие разным собственным числам этой матрицы, тогда матрица -диагональная матрица, подобная матрице .

Заметим, что найти собственные числа квадратной матрицы, применяя теорему 4.4, можно только в том случае, если известны собственные векторы этой матрицы. Вместе с тем теорема 4.4 используется во многих теоретических выводах.

Пример 4.6. В примерах 4.1 и 4.3были найдены собственные числа и собственные векторы матрицы:

Показать справедливость равенства , где

Решение. В нашем примере

Рассмотрим свойства собственных векторов матрицы.

1.Собственные векторы матрицы, соответствующие её различным собственным числам, линейно независимы. Опуская доказательство этого свойства, проверим его на примере.

Пример 4.7. В примере 4.3 были найдены собственные векторы матрицы , соответствующие разным собственным числам:

, , .

Показать, что эти векторы линейно независимы.

Решение. Составим систему линейных уравнений

.

Определитель матрицы этой однородной системы линейных уравнений не равен нулю:

Следовательно, система имеет только нулевое решение, т.е. векторы и линейно независимы.

2.Если все собственные числа квадратной матрицы -го порядка различны, то соответствующие им собственные векторы образуют базис пространства .

Это следует из предыдущего свойства о определения базиса пространства .

3.Любая не равная нулевому вектору линейная комбинация собственных векторов данной матрицы, соответствующих одному и тому же собственному числу этой матрицы, также является собственным вектором данной матрицы.

Докажем это свойство.

Пусть , ,… , - собственные векторы матрицы , соответствующие её собственному числу , а , , … - произвольные числа, такие, что

.

По условию , ,…, , тогда

.

Это означает, что вектор является собственным вектором матрицы , соответствующим её собственному числу .