Решая эту систему методом Гаусса, получим

~ ,

откуда найдем бесчисленное множество решений , , , где t - произвольное вещественное число. Итак, для данных векторов условие (3.8) выполняется не только при , но и, например, при , , (при ), при , , (при ). Следовательно, эти векторы линейно зависимы.

Пример 3.10.Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

₁ = (1, 1, 4, 2),

₂ = (1, -1, -2, 4),

₃ = (0, 2, 6, -2),

₄ = (-3, -1, 3, 4),

₅ = (-1, 0, - 4, -7).

Решение.Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется векторное равенство:

α_{1 1}+ α_{2 2}+ α_{3 3}+ α_{4 4}+ α_{5 5}= .

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

α₁ + α₂ - 3 α₄ - α₅= 0,

α₁- α₂ + 2 α₃ - α₄ = 0,

4 α₁ - 2 α₂ + 6 α₃ +3 α₄₄ - 4 α₅ = 0,

2 α₁ + 4 α₂ - 2 α₃ + 4 α₄ - 7 α₅= 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x₁, x₂, x₄ отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве базисных и продолжить обнуление элементов во втором и четвертом столбцах:

~

Имеем: α₄ = 1/3 t, α₂ = 5/6 t+ s, α₁ = 7/6 t – s, α₃=s, α₅=t, где s, t - произвольные вещественные числа.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные α₃ и α₅ не равны нулю одновременно, то и базисные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

α_{1 1}+ α_{2 2}+ α_{3 3}+ α_{4 4}+ α_{5 5}= 0.

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, α ₅ = 6, α ₃ =1. Тогда α ₄=2, α ₂ = 6, α ₁=6 и мы получим соотношение

6 ₁ + 6 ₂ + ₃ + 2 ₄ + 6 ₅ = 0,

т.е. данная система векторов линейно зависима.