Базис и размерность векторного пространства

Фундаментальным вопросом теории векторных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произвольный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксированного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот вопрос.

Система линейно независимых векторов векторного пространства называется базисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа такие, что имеет место равенство

.

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа называются координатами вектора относительно базиса(илив базисе) .

Упражнение. Докажите, что базис является максимальным линейно независимым набором векторов: любой набор, содержащий его как собственное подмножество, линейно зависим.

Пример 3.11. В базисе заданы векторы , и . Показать, что векторы , и образуют базис.

Решение. Векторы , и образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство

.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

α₁ + α₂ - 3 α₃= 0,

α₁ - α₂ + 5 α₃ = 0,

α₂ + 6 α₃ = 0,

Решая его аналогично примеру 3.10, можно убедиться в единственном нулевом его решении ,т.е. векторы , и образуют систему линейно независимых векторов, и, следовательно, составляют базис.

Теорема 3.5. (о единственности разложения по базису). Каждый вектор пространства может быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.

Доказательство. Допустим, что для некоторого элемента существуют два разложения по одному и тому же базису:

и .