В силу аксиом 1) – 3) последнее неравенство можно переписать в виде

.

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта :

.

Из неравенства сразу же следует неравенство Коши-Буняковского.

В том случае, когда квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию. Но в этом случае элемент является нулевым, так что , и неравенство также справедливо. Теорема доказана.

Наша очередная задача – ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины) каждого элемента. Для этого введем понятие нормированного пространства.

Векторное пространство называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое символом .

II. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

1) , если ; , если ;

2) , ;

3) (неравенство треугольника).

Теорема 3.10. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента определить равенством

. (3.10)

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (3.10), справедливы аксиомы 1) – 3) из определения нормированного пространства.

Справедливость для нормы аксиомы 1) следует из аксиомы 4) скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2) следует из аксиом 1) и 3) скалярного произведения.

Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3), т.е. неравенства треугольника. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, которое перепишем в виде

. (3.11)

С помощью последнего неравенства, аксиом скалярного произведения и равенства (3.10), получаем