Евклидовы пространства

В разделе 3.1 вводится понятие скалярного произведения двух векторов (на плоскости или в пространстве), которое обладает четырьмя основными свойствами. Мы рассмотрим векторные пространства произвольной природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения для геометрических векторов на плоскости или в пространстве. Векторные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами.

Дадим более строгое определение.

Вещественное векторное пространство называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства и ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов (и обозначаемое символом ).

II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1) (коммутативность или симметрия);

2) (дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения);

3) ;

4) , если ; , если .

Пример 3.13. Рассмотрим векторные пространства или геометрических векторов на плоскости или в пространстве. Исследовать, являются ли данные пространства евклидовыми.

Решение. Скалярное произведение любых двух векторов определим стандартным образом (как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В разделе 3.1 доказывается, что в этом случае выполняются аксиомы 1) – 4). Следовательно, пространства и являются евклидовыми пространствами.

Пример 3.14. Исследовать, является ли -мерное координатное пространство евклидовыми.

Решение. Если , , то скалярное произведение определим равенством

.

В этом случае выполнение аксиом 1) – 4) легко проверяется. Следовательно, пространство является евклидовым.

Cкалярное произведение векторов пространства имеет и экономический смысл. Если, например, . есть вектор объемов различных товаров, а - вектор их цен, то выражает суммарную стоимость этих товаров.

Следующая теорема справедлива для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.

Теорема 3.9. Для любых двух элементов и евклидова пространства справедливо неравенство

,

называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для любого вещественного числа в силу аксиомы 4) скалярного произведения справедливо неравенство

.