Вычитая почленно из первого равенства второе, получим

.

В силу линейной независимости базисных векторов последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда или . Единственность разложения по базису доказана.

Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая

Теорема 3.6. При сложении двух любых векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число все координаты этого вектора умножаются на .