Умножение вектора на скаляр

Пусть заданы вектор и скаляр n. Найдём произведение вектора и скаля­ра n.

В результате умножения вектора на

скаляр мы получаем новый вектор :

= n · (рис. 11).

Направление вектора такое же, как направление вектора при n > 0.

Направление вектора противополож­но направлению вектора при n < 0.

Модуль вектора в n раз больше модуля вектора , если n >1.

3.5. Разложение вектора на составляющие

Разложить вектор на составляющие векторы по двум зáданным направле­ниям — это значит найти два вектора и :

— направления которых совпадают c зáданными направлениями;

— сумма которых равна вектору .

Геометрически разложить вектор на составляющие векторы — это значит построить параллелограмм по зáданной диагонали и зáданным направлениям сторон.

Найдём составляющие вектора по зáданным направлениям АВ и CD. (рис. 12):

1. Через начало и конец вектора проводим прямые линии, параллельные одному из зáданных направлений (АВ).

2. Через начало и конец вектора проводим прямые линии, параллельные второ- му зáданному направлению (CD).

Мы построили парал- лелограмм.

3. Зáданный вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на искомых составляющих векторах и : Начала векторов , , на­ходятся в одной точке.

3.6. Проекция вектора на оси координат

П р о е к ц и я в е к т о р а н а о с ь — это скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси (рис. 13, а):

— это вектор;

c_х — это проекция вектора на ось ОХ;

c _у — это проекция вектора на ось ОУ;

a — это угол между вектором и осью ОХ;

b — это угол между вектором и осью OУ

Так как

и

(рис.13, а), то

и

На рис.13, б:

c_х — это графическое изображение проекции вектора на ось OX;

c _у — это графическое изображение проекции вектора на ось OУ

Найдём проекции вектора на оси координат 0Х и 0У в прямоугольной (де­картовой) системе координат (рис. 14, а, б, в, г) методом разложения вектора на составляющие:

1. Разложим вектор на два составляющих вектора и ;

— составляющий вектор по оси ОХ;

— составляющий вектор по оси ОУ.

2. Проекция вектора на ось ОХ равна модулю составляющего вектора со знаком «плюс» или «минус»:

c_х >0, если (рис. 14, а; рис. 14, г);

c_х < 0, если (рис. 14, б; рис. 14, в).

3. Проекция вектора на ось ОУ равна модулю составляющего вектора со знаком «плюс» или «минус»:

c_у >0, если (рис. 14, а; рис. 14, в)

с_у < 0, если (рис. 14, б; рис. 14, г)

Рассмотрим частные случаи

а б а б

Рис. 15 Рис. 16

Так как вектор и (рис. 15, а), то c_у = +с и c_х = 0

Так как вектор и (рис. 15, б), то c_у = - с и c_х = 0

Так как вектор и (рис. 16, а), то c_х = +с и c_у = 0

Так как вектор и (рис. 16, б), то c_х = - с и c_у = 0

Можно решить обратную задачу: если мы знаем проекции вектора, то

мы можем найти сам вектор, т. е. найти модуль вектора и направление

вектора (рис. 17).

Модуль вектора

Направление вектора определяют углы a и b:

Или из рис. 17 следует:

.

Зачем нам нужно знать проекции вектора? Так как проекции векторов на оси координат — это скалярные величины, мы можем заменить любое векторное ра­венство (уравнение) системой скалярных равенств (уравнений). При этом геомет­рические действия с векторами мы заме­няем алгебраическими действиями с про­екциями векторов.

!!! 3апомните правила: Проекция результирующего вектора (вектора суммы) на данную ось равна алгебраической сумме проекций составляющих (слагаемых) векторов на эту же ось: ; ;   ; ;   Проекция вектора разности на данную ось равна разности проекций уменьшаемого и вычитаемого векторов на эту же ось.   ; ;

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Какие векторные величины вы знаете?

2. Какие скалярные величины вы знаете?

3. В каком случае модуль результирующего вектора равен:

а) сумме модулей составляющих векторов?

б) разности модулей составляющих векторов?

4. Можно ли сказать, что , если:

,

, ?

5. В каком случае проекция вектора на ось координат:

а) положительная величина? б) отри­цательная величина?

в) равна нулю? г) равна модулю вектора со знаком «+»?

д) равна модулю вектора со знаком « - »?

МЕХАНИКА

Механика изучает механическое дви­жение.

М е х а н и ч е с к о е д в и ж е н и е — это процесс изменения положения тела относи­тельно другого тела, которое мы условно считаем неподвижным и называем телом отсчёта.

Ⅰ. КИНЕМАТИКА

К и н е м a т и к а — это часть механи­ки, которая изучает механическое движе­ние, но не учитывает причины, вызывающие это движение.

Задача кинематики ¾ ввести физические величины, которые характеризуют механическое движение и установить соотношения между ними.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ КИНЕМАТИКИ

Мы изучаем движение материальной точки.

1.1. Материальная точка

М а т е р и а л ь н а я т о ч к а — это физическое тело, форму и размеры кото­рого мы можем не учитывать в данной задаче.

Например: Земля движется вокруг Солнца. Размеры Солнца и Земли мень­ше, чем расстояние между Солнцем и Землёй. В этом случае мы можем счи­тать, что Солнце и Земля — материаль­ные точки.

1.2 . Траектория

Т р а е к т о р и я — это линия, которую описывает материальная точка при дви­жении (рис. 18).

а б

Рис. 18

Эта траектория (рис. 18, а) — кривая линия. Движение материальной точки к р и в о л и н е й н о е.

Эта траектория (рис. 18, б) — прямая линия. Движение материальной точки п р я м о л и н е й н о е.

1.3. Путь

П у т ь — это скалярная, всегда положительная физическая величина, которая равна длине траектории. Путь обозначается буквой S (читаем «эс»).

Путь измеряется в единицах длины.

Единица пути в СИ: [S] = 1 м.

Единица пути в системе СГС: [S] = 1 см.

Внесистемная единица пути: [S] = 1 км.

1.4. Время

Время — скалярная физическая ве­личина. Момент времени обозначается символом t.

Интервал времени — это разность между двумя моментами времени.

Интервал времени обозначается сим­волом Δt (читаем «дельта тэ»):

Δt = t– t₀,

где t — это любой момент времени,

t₀ — это начальный момент времени.

Единица времени в СИ и в системе СГС [t] = l с.

1.5. Тело отсчёта

Т е л о о т с ч ё т а — это тело, относи­тельно которого мы рассматриваем дви­жение данного тела.

По дороге движется автомобиль, в котором находится человек (рис. 19).

В о п р о с: движется или не движется человек?

О т в е т:

— человек движется относительно дерева (дерево — это тело отсчёта);

— человек не движется (находится в покое) относительно автомобиля (автомобиль — это другое тело отсчёта).

Мы видим, что человек движется от­носительно одного тела отсчёта (дерева) и не движется относительно другого те­ла отсчёта (автомобиля).

С д е л а е м в ы в о д: движение и по­кой — относительные состояния.

1.6. Система координат

Мы определяем положение матери­альной точки её координатами в выбранной нами с и с т е м е к о о р д и н а т (рис. 20). Точка О — это начало коорди­нат.

Положение точки на прямой линии определяет одна координата (см. рис. 20, а).

Положение точки на плоскости опре­деляют две координаты (см. рис. 20, б).

Положение точки в пространстве оп­ределяют три координаты (см. рис. 20, в).

1.7. Система отсчёта

Мы изучаем движение тела в системе отсчёта (рис. 21).

Система отсчёта — это тело отсчёта + система координат, связанная с телом отсчёта + секундо­мер.

Тело отсчёта нужно, чтобы опреде­лить, движется данное тело или находит­ся в покое в данной системе отсчёта.

Система координат нужна для опре­деления положения тела относительно тела отсчёта.

Секундомер (часы) — это прибор для измерения времени.

1.8. Радиус-вектор

Нарисуем точку М в системе координат XOУ (рис. 22).

Р а д и у с − в е к т о р точки — это вектор,

который соединяет начало коор­динат с данной точкой.

Если мы знаем радиус-вектор (его модуль r и направление, которое задано углом a), то мы можем найти координа­ты точки М:

Если мы знаем координаты точки М (х, у), то мы можем найти радиус-вектор:

— модуль радиуса-вектора

— его направление, которое определяет угол a:

— Радиус-вектор и координаты точки х, у — это характеристики положения материальной точки.

1.9. Перемещение

При движении материальной точки ее радиус- вектор и координаты изменяются (рис. 23). За интервал времени Δt ра­диус-вектор изменяется на величину

.

Вектор — это перемещение мате­риальной точки (тела) за интервал вре­мени Δt = t – t₀.

П е р е м е щ е н и е — это вектор, который соединяет начальное и конечное положения материальной точки на траек­тории.

Если материальная точка движется криволинейно, то путь S и модуль пере­мещения Δr не равны ( ; S > Δr; рис. 24, а).

Если материальная точка движется прямолинейно, то путь S и модуль пере­мещения Δr равны (S = Δr; рис. 24, б).

Перемещение, так же как и путь, из­меряется в единицах длины [Δr] = [S] = [ℓ].

		б
		Рис. 24

1.10. Скорость

Средняя скорость

Автомобиль движется быстрее человека: скорость автомобиля больше скорости человека.

С р е д н я я с к о р о с т ь — это векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к интервалу времени, за который это перемещение происходит:

Единица скорости в СИ: [υ] = 1 м/с (один метр в секунду).

Единица скорости в системе СГС: [υ] = 1 см/с.

Внесистемная единица скорости: [υ] = 1 км/ч;

На практике мы часто используем понятие средней скорости по пути.

С р е д н я я с к о р о с т ь п о п у т и — это скалярная физическая величина, равная отношению пути к интервалу времени, за который тело проходит этот путь:

.

М г н о в е н н а я с к о р о с т ь — это скорость, которую имеет тело в данный момент времени (в данной точке траектории).

Чтобы найти мгновенную скорость, надо рас- сматривать перемещение за бесконечно малый интер- вал времени (интервал времени стремится к нулю):

Δt ® 0

М г н о в е н н а я с к о р о с т ь — это векторная

физическая величина, равная пределу отношения вектора перемещения к интервалу времени Δt, за который это перемещение происходит, когда Δt ® 0:

.

Символ lim в формуле обозначает слово «предел».

Вектор мгновенной скорости направлен по прямой линии, касательной к траектории в данной точке (рис. 25).

1.11. Изменение скорости

Скорость тела не изменяется: = const, если:

— модуль скорости не изменяется: = const;

— направление скорости не изменяется.

Скорость тела изменяется const, если:

— модуль скорости изменяется, или

— направление скорости изменяется, или

— модуль и направление скорости изменяются.

Вектор изменения скорости равен разности векторов скорости и (рис. 26):

,

(читаем «дельта вэ тау») — это вектор, характеризующий изменение вектора скорости по модулю:

(читаем «дельта вэ эн») — это вектор, характеризующий изменение вектора скорости по направлению.

Полное изменение вектора скорости равно:

.

1.12. Ускорение

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

С р е д н е е у с к о р е н и е — это векторная физи­ческая величина, равная отношению из­менения скорости к интервалу времени, за который это изменение происходит:

Вектор среднего ускорения направлен так же, как вектор изменения скорости

Мгновенное ускорение

Единица ускорения в СИ: [а] = 1 м/с² (один метр в секунду в квадрате).

Единица ускорения в системе СГС: [а] = 1 см/с².

Вектор ускорения имеет два перпен­дикулярных составляющих: нор­мальное ускорение и тангенциальное ускорение (рис. 27).

Н о р м а л ь н о е у с к о р е н и е характеризует изменение вектора скорости по направлению

.

Вектор нормального ускорения всегда направлен перпендикулярно вектору ско­рости: , .

Если направление вектора скорости не изменяется, то нормальное ускорение равно нулю.

Т а н г е н ц и а л ь н о е у с к о р е н и е характеризует изменение вектора скоро­сти по модулю

Вектор тангенциального ускорения и вектор скорости могут иметь одинаковые или противоположные направления:

— если модуль скорости увеличивается, то вектор тангенциального ускорения и вектор скорости имеют одинаковые направления: − это ускόренное движе­ние (рис. 27);

— если модуль скорости уменьшается, то вектор тангенциального ускорения и вектор скорости имеют противоположные направления − это замéд- ленное движение.

Если модуль скорости не изменяется, то тангенциальное ускорение равно нулю.

П о л н о е у с к о р е н и е — это сум­ма нормального ускорения и тангенци­ального ускорения:

.

Модуль полного ускорения

так как .