Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля

Непосредственное решение системы уравнений Максвелла, как правило, весьма сложно, поскольку здесь определению подлежат шесть неизвестных составляющих векторов и . Поэтому бывает целесообразным найти некоторую вспомогательную функцию, знание которой позволило бы одновременно найти векторы напряженности электрического и магнитного полей. Подобные вспомогательные функции в электродинамике носят название потенциалов электромагнитного поля.

Отметим, прежде всего, что третьему уравнению Максвелла удовлетворяет векторное поле , определяемое по формуле

Здесь — некоторая векторная функция, носящая название электрического векторного потенциала. Подобное название обусловлено тем, что эта величина естественно используется в тех задачах, которые связаны с возбуждением электромагнитного поля электрическими сторонними токами. Аналогично

.

Последние два соотношения весьма неопределенны, поскольку единственное условие, налагаемое на , — это дифференцируемость, обеспечивающая существование ротора данного векторного поля.

Попытаемся при помощи электрического векторного потенциала определить вектор напряженности электрического поля, для этого подставим выражение векторного потенциала во второе уравнение Максвелла:

,

т. е.

.

В силу известного тождества векторного анализа

вышеприведенное соотношение будет выполняться автоматически, если

Здесь — некоторая скалярная функция, называемая скалярным электрическим потенциалом.

Выбор знака в правой части последней формулы обусловлен тем, что в соответствии с известным соотношением электростатики для полей, не зависящих от времени, справедливо равенство

При этом сохраняется традиционное направление стрелок на силовых линиях электрического поля, при котором истоком поля считается положительный заряд.

Итак, в данном разделе найден способ выражения векторов электромагнитного поля через векторный и скалярный электрические потенциалы:

,