Равномерное движение

При равномерном движении (рис. 28, в):

— за любые равные интервалы времени тело проходит равные отрезки пути,

— модуль скорости не изменяется,

— тангенциальное ускорение равно нулю.

при Δt₁ = Δt₂ = Δt₃ = … ; S₁ = S₂ = S₃ =… и v₁ = v₂ = v₃ =…

Рис. 28, в

2.4. Неравномерное движение

При неравномерном движении (рис. 28, г):

— за равные интервалы времени тело проходит неравные отрезки пути,

— модуль скорости изменяется,

— тангенциальное ускорение не равно нулю.

при Δt₁ = Δt₂ = Δt₃ = … S₁ ≠ S₂ ≠ S₃ ≠… и v₁ ≠ v₂ ≠ v₃ ≠…

≠ 0

Рис. 28, г

Неравномерное движение может быть ускóренным или замéдленным.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Что такое материальная точка? Автомобиль — это материальная точка?

2. Что характеризует мгновенная скорость?

3. Что характеризует средняя скорость?

4. Какое направление имеет мгновенная скорость?

5. При каком движении путь и модуль перемещения

равны?

6. Что характеризует нормальное ускорение?

7. Что характеризует тангенциальное ускорение?

3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

П р я м о л и н е й н о е р а в н о м е р ­н о е д в и ж е н и е — это движе­ние, при котором модуль и направление скорости не изменяются.

При прямолинейном равномерном движении вектор скорости постоянная величина: = const. Следовательно, при этом движении ускорение равно нулю.

При прямолинейном равномерном движении средняя и мгновенная скорости равны между собой:

= .

3.1. Формулы прямолинейного равномерного движения

При прямолинейном движении поло­жение точки характеризует одна коорди­ната. Нарисуем ось координат ОХ, кото­рая параллельна траектории движения точки (рис. 29):

х₀ — это начальная координата (координата точки в начальный момент времени t ₀),

х — это координата точки в момент време­ни t,

— это перемещение точки за интервал времени Δt = t - t_0.

Из определения скорости находим формулу перемещения точки за интервал вре­мени Δt

.

Рис. 29

В проекциях на ось координат ОХ полу­чаем

Δr_x = v_x·Δt, или x - x₀ = v_x·Δt, откуда

х = х₀ + v_x· (t - t₀) — это формула зависимости координаты

тела от вре­мени t.

v_x = — это формула зависимости

проекции скорости на ось ОХ от времени.

Так как Δr = S, получаем:

S = v·Δt — это формула пути.

3.2. Графики прямолинейного равномерного движения

График зависимости проекции скорости от времени.

При прямолинейном равномерном движении скорость тела не изменяется. Поэтому график зависимости проекции скорости от времени — прямая ли­ния, параллельная оси времени (рис. 30).

По графику зависимости проекции скорости от времени можно найти путь, пройденный телом за интервал времени Δt. Путь тела S за интервал времени Δt определяется площадью прямоугольника ABCD:

S = AB·AD = v·Δt.

График зависимости координаты точки от времени x = x(t).

Из формулы зависимости координа­ты точки от времени х = х₀ + v_x× t (при t₀ = 0) следует, что координата — линейная функция времени. Поэтому график х = x(t) — прямая линия, которая обра­зует угол a с осью времени (рис. 31). По графику зависимости координа­ты точки от времени можно найти:

— координату точки в любой момент вре­мени x(t),

— путь за любой интервал времени S =|Δr_x | = |Δx|,

— проекцию скорости v_x = .

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. При каком движении модуль мгновенной скорости равен модулю средней скорости?

2. Почему при прямолинейном равномерном движе- нии тангенциальное и нормальное ускорения равны нулю?

3. Какой вид имеет график зависимости ско­рости от времени для прямолинейного равномер­ного движения?

4. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

При п р я м о л и н е й н о м н е р а в ­- н о м е р н о м д в и ж е н и и скорость те­ла изменяется по модулю, но не изме­няется по направлению. При этом движе­нии нормальное ускорение равно нулю: а тангенциальное ускорение не равно нулю При прямолиней- ном неравномерном движении полное ускорение равно тангенциальному ускорению: .

Мы будем изучать частный случай прямоли- нейного неравномерного движе­ния — прямоли- нейное р а в н о п е р е м е н н о е движение.

4.1. Прямолинейное равнопеременное движение

П р я м о л и н е й н о е р а в н о п е р е м е н н о е д в и ж е н и е — это движение, при котором скорость тела за любые равные ин­тервалы времени изменяется на равную величину (рис. 32). Это значит, что если

то ,

тогда , или

.

При прямолинейном равнопеременном движении ускорение не изменяется, т.е.

.

4.2. Основные формулы прямолинейного равнопеременного движения

Ускорение

или (Ⅰ.1)

Мгновенная скорость

(Ⅰ.2)

или в проекциях на ось ОХ

. (Ⅰ.3)

Средняя скорость ср.

движения. При равнопеременном движе­нии средняя скоро­сть может быть вычислена по формуле

, (Ⅰ.4)

так как при равнопеременном движении скорость — линейная функция времени.

Перемещение и координата х

Подставим сюда формулу средней скоро­сти (Ⅰ.4), а затем формулу мгновенной скорости (Ⅰ.2) .

После вычислений получаем

(Ⅰ.5)

В проекциях на ось ОХ:

откуда находим формулу зависимости координаты точки

от времени

. (Ⅰ.6)

Из формул

,

,

получаем еще одну формулу — формулу зависимости проекции перемещения от скорости тела:

.

Равнопеременное движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.

При р а в н о у с к о р е н н о м д в и ж е н и и модуль скорости уве­личивается: v ＞ v_0, поэтому вектор скорости и вектор уско­рения имеют одинаковые направле­ния: .

При р а в н о з а м е д л е н н о м д в и ­ ж е н и и модуль вектора скоро­сти уменьшается: v ＜ v₀, поэтому вектор скорости и вектор ускоре­ния имеют противоположные направления: .

4.3. Графики равнопеременного движения

График зависимости ускорения от вре­мени a_х = a_х(t)

При равнопеременном дви­жении =const. Поэтому график а_х = а_х(t)— это прямая линия, параллель­ная оси времени (рис. 33).

График зависимости проекции скорости от вре­мени v_х = v_х (t).

угол β с осью времени (рис. 34).

Из формулы координаты

(при t₀ = 0) следует, что график x = x(t) — парабола (рис. 35).

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Почему при прямолинейном неравномерном движении а_п = 0?

2. Почему при прямолинейном неравномерном
движении а_τ ≠ 0?

3. Какой вид имеет график зависимости скорости от

времени для равнопеременного движе­ния?

4.4. Свободное падение

С в о б о д н о е п а д е н и е — это движение тела в пустоте из состояния покоя под действием притяжения тела к Земле.

Свободное падение — это прямолинейное равноускоренное движение. Все тела в данном месте Земли движутся при свободном падении с одинаковым ускорением. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается (буквой) “g”. Численное значение g » 9,8 м/с². Вектор направлен верти­кально вниз.

При свободном падении векторы уско­рения и скорости имеют одинаковые направления (рис. 36).

Формулы свободного падения мы по­лучаем из формул прямолинейного рав­нопеременного движения. (См. 34) Считаем, что ось ОУ направлена вертикально вверх, начало координат выбираем на поверхно­сти Земли.

Для свободного падения в этой системе координат:

начальная координа­та y_o = h;

проекция на­чальной скорости v_0y = 0;

проекция ускорения на ось ОУ а_у = - g.

Уравнение зависимости проекции скорости v_y от времени t (t₀ = 0) имеет вид v _y = - gt.

Уравнение зависимости координаты у от време­ни t t₀ = 0) имеет вид .

Откуда время падения тела с высоты h (у = 0) находим по формуле

Формула зависимости проекции перемещения от скорости будет иметь вид

или или

откуда модуль скорости падения тела с высоты h

(у = 0, у₀ = h ) можно найти по формуле:

4.5. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного вертикально вверх,― это движение, при котором:

― начальная скорость тела направлена вертикально вверх,

― тело движется равнопеременно с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз.

Это движение состоит из двух этапов: движения тела вертикально вверх и движения вертикально вниз.

При движении тела вертикально вверх модуль скорости уменьшается, поэтому вектор ускорения и вектор скорости имеют противоположные направления .Это равнозамедленное движение (рис. 37).

На максимальной высоте, равной Н_mах, скорость тела становится равной нулю. После этого начинается второй этап движения — равноускоренное движение.

Можно доказать, что время подъёма тела на максималь­ную высоту H_mах равно времени падения с этой высоты до того уровня, с которого бросили тело:

Δt_{подъёма} = Δt_{падения}

(Δt _{(от точки А до точки В )} = Δt _{(от точки В до точки А)}).

Начальная скорость тела, брошенно­го вертикаль- но вверх, по модулю равна конечной скорости свободного падения

v₀ = v_п.

Формулы движения тела, брошенного вертикаль- но вверх, мы получаем из фор­мул равнопеременного движения. Считаем, что ось ОУ направлена вертикально вверх, начало координат выбираем на поверхно­сти Земли.

Для движения тела, брошенного вер­тикально вверх в этой системе координат (рис. 37):

начальная координа­та : у₀ = 0;

проекция начальной скорости на ось ОУ: v_0у = v₀;

проекция ускорения на ось ОУ: а_у= - g.

Уравнение зависимости проекции скорости v_у от времени t (t₀ = 0) имеет вид

.

Уравнение зависимости координаты у от време­ни t при t₀ = 0 имеет вид

.

Зависимость модуля скорости v от ко­ординаты у

v₀² - v ² = 2g (у - y₀).

Максимальная высота подъема тела у = Н_max, если у₀ = 0

Н_max =

Скорость тела на максимальной высоте (h = Н_mах)

v _H = 0.

Время подъема тела на высоту Н_mах

Δt _{подъёма} = t _H = .

Полное время движения тела Δt _{движения} = t_п - t₀

t_п- t₀ =

Время падения тела с высоты Н_тах на Землю

t_п - t_H = .

Модуль конечной скорости падения тела на Землю

v _п = v₀.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Почему свободное падение — это равнопе- ременное движение?

2. Почему свободное падение — это равно- ускоренное движение?

3. Как изменяется скорость при подъёме?

4. Как изменяется скорость при падении?