Теорема об изменении кинетического момента

Рис.13.7

Пусть точки механической системы Мk массой mk движутся относительно инерциальной системы отсчёта Oxyz со скоростью (k=1,2,...,n). Выберем произвольную подвижную точку А за центр. Определим положение точек механической системы Мk относительно точки А радиус-вектором (рис. 13.7).

Тогда кинетический момент механической системы относительно точки А равен

(13.13)

Продифференцируем обе части равенства (13.13) по времени, получим

(13.14)

где - ускорения точек относительно инерциальной системы отсчёта, вызванные действием равнодействующих внешних сил и равнодействующих внутренних сил и, следовательно

+

Тогда

(13.15)

В равенстве (13.15)

.

Обозначая главный момент внешних сил относительно точки А - и учитывая, что главный момент внутренних сил механической системы относительно точки равен нулю, получим

Таким образом

(13.16)

где М - масса всей системы, - скорость центра масс.

Равенство (13.16) выражает теорему об изменении кинетического момента относительно подвижной точки: производная по времени от кинетического момента для произвольной подвижной точки равна сумме главного момента внешних сил системы относительно той же точки и векторного произведения количества движения системы на скорость этой точки.

Теорема чаще применяется для неподвижной точки (V_O = 0):

(13.17)

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижной точки равна главному моменту внешних сил относительно той же точки.

В проекциях на оси х, у, z получим три скалярных равенства:

(13.18)

Если в равенстве (13.16) за точку А принять подвижный центр масс, теорема будет иметь вид:

Следовательно, теорема об изменении кинетического момента механической системы для неподвижного центра O и для центра масс С имеют одинаковый вид.