Работа силы на элементарном и конечном перемещениях

Элементарная работа силы DА равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения :

DА = × .

Вектор элементарного перемещения направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 14.2) и по модулю равен элементарной дуге ds. Исходя из определения скалярного произведения векторов, элементарную работу можно вычислить по следующим формулам:

или , (14.7)

где , = dx + dy + dz .

При этом знак элементарной работы будет положительным, если угол a острый. Если угол a тупой, то элементарная работа будет отрицательной.

Работа силы на конечном перемещении (рис. 14.2) равна криволинейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой от до , от элементарной работы:

. (14.8)

Знак работы имеет следующий смысл: если сила способствует движению, то работа положительна, если не способствует движению - отрицательна. Единицей измерения работы в системе СИ является

1 джоуль (Дж) = 1 Н× м = 1 кг × .

Примеры работы сил, наиболее часто используемые в задачах:

1). Работа сил тяжести:

.

При перемещении абсолютно твердого тела из положения с центром масс в точке (рис. 14.3) в положение с центром масс в точке работа силы тяжести тела равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра масс. В случае перемещения твердого тела из положения с центром масс в точке C₂ в положение с центром масс в точке C₁ работа силы тяжести поменяет знак:

= ± Ph, (14.9)

где .

Рис. 14.3

2). Работа силы трения скольжения. Величина силы трения, действующей на материальную точку М при ее движении по шероховатой поверхности (рис. 14.4), определяется по формуле Кулона-Амонтона , где f – коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности.

Тогда по формуле (25.8)

.

Если величина силы трения постоянная, то

, (14.10)

где .

Рис. 14.4

3). Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.

При вращательном движении, так как и элементарная работа силы , приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна

где h –расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

Следовательно,

(14.11)

где – момент силы относительно оси вращения z, – элементарное угловое перемещение тела.

Работа силы на конечном угле поворота , где и – конечное и начальное значения угла j, определяющего положение тела, вычисляется по формуле

,

где - момент силы относительно оси вращения z.

В случае постоянного момента

.

4). Работа внутренних сил твердого тела. Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Утверждение доказывается на основании теоремы кинематики о проекциях скоростей двух точек тела и того, что исходя из аксиомы А3, внутренние силы входят в систему попарно, являясь противоравными силами.