Множества на прямой

Пусть а < b. Напомним, что отрезок [a, b] определяется неравенствами а £ x £ b; интервал (a, b) – неравенствами а < x < b (при этом допускается, что а = – ¥ или (и) b = + ¥); полуинтервал [a, b) – неравенствами а £ x < b; и, наконец, полуинтервал (a, b] – неравенствами а < x £ b.

Далее, определим окрестность точки. С этой целью напомним, что

Эквивалентное определение модуля таково:

.

Например, ; .

Модуль есть расстояние от точки до нуля.

Следовательно, есть расстояние между x и y:

Пусть e > 0 – число. Неравенство равносильно двойному неравенству a – e < x < a + e:

Множество точек x, удовлетворяющих этому неравенству (т.е. отстоящих от а менее чем на e), назовем e-окрестностью точки а, или просто окрестностью точки а. Обозначим ее . Окрестность без точки а, т.е. множество , будем называть проколотой окрестностью точки а.

Множество G называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и некоторую ее окрестность. Например, интервал (a, b) есть открытое множество.

Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

Пересечение конечного числа открытых есть открытое множество (Пустое множество открыто по определению). Множество В = ú\А называется дополнением к А (в ú) и обозначается CA. Оно состоит из всех точек x Ï А.

Множество F называется замкнутым, если дополнение к нему открыто. Например, отрезок [a, b] есть замкнутое множество, поскольку дополнение к нему есть (– ¥, а) È (b, + ¥) – открытое множество.

Множества Æ и ú открыты и замкнуты одновременно.

Полуинтервал [a, b) (а < b) – пример множества ни открытого, ни замкнутого.

Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Объединение конечного числа замкнутых есть замкнутое множество.

Множество А называется ограниченным, если $М > 0 такое, что "x Î A, т.е. А Ì [– М, М]. Ограниченное и замкнутое множество на прямой называют также компактным множеством, или компактом. Например, отрезок [a, b] – компакт.