Последовательность и ее предел
Пусть имеется правило, по которому каждому натуральному n ставится в соответствие вещественное число 
: 
. В этом случае говорят, что задана последовательность 
, 
,… Коротко ее обозначают 
. При этом число называют n-м членом, или общим членом, последовательности .
Примеры:
а) 1, 2, 3, 4, 5,… Здесь 
. Для нее 
. (Чтó это значит, мы определим позже).
б) – 1, – 2, –3,…, т.е. 
. Для нее 
.
в) –1, 2, – 3, 4, –5, 6,… Þ 
. Здесь 
(без знака!).
г) 1, 
, 
, 
, 
,… Þ 
. Здесь 
(запомните!), точнее 
(стремится к нулю справа, оставаясь положительным).
д) 
(стремится к нулю слева).
е) – 1, , 
, , 
,…Þ 
. Здесь (без знака).
ж) –1, 1, –1, 1, –1, 1,… 
. Эта последовательность никуда не стремится (хотя и ограничена).
з) , 
, 
, 
, 
,… Þ 
, т.к.
, а 
.
Итак, 
, если «неограниченно приближается» к а с ростом n. Формальное определение таково: при n ® ¥, или, что то же самое, 
, если "e > 0 $N = N(e) такое, что 
"n > N.
Другими словами, ( 
), если для любой окрестности точки а найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности (поясните эквивалентность определений).
УПРАЖНЕНИЕ.Докажите, что
а) 
при ; б) 
при , если 
.
Говорят, что последовательность монотонно возрастает (не убывает), если 
"n ( 
"n).
Говорят, что последовательность ограничена сверху, если
$М > 0 такое, что 
"n.
Аналогично определяются монотонно убывающая (не возрастающая) последовательность и последовательность, ограниченная снизу.
ТЕОРЕМА. Монотонно возрастающая (или даже неубывающая) ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.
Другими словами, если для всех n и , то 
и 
.
Аналогичное утверждение справедливо и для монотонно убывающей (не возрастающей) ограниченной снизу последовательности (сформулируйте его).
6. Число е
Рассмотрим последовательность 
. Имеем:
, 
,
,
и т.д. Можно показать, что "n и что 
"n. Следовательно, существует предел этой последовательности, обозначаемый е:
.
Это обозначение предложил Л. Эйлер (Euler, 1707–1783), великий математик, родившийся в Швейцарии и работавший в России.
Число е играет в математике не менее важную роль, чем p ( в этом мы не раз убедимся). Приближенно оно равно 2,7. Более точное значение таково: е = 2,718281828… Год рождения Л. Толстого (1828) стоит здесь дважды подряд, но не является периодом, т.к. число е иррационально (дальнейшие цифры 4590…). Заметим также, что 
, в то время как показатель степени 
. Таким образом, 
есть «неопределенность» типа 
.
Если в этом пределе величину 
заменить нулем, то в пределе получим единицу, поскольку единица в любой степени есть единица. Если же заменить любой сколь угодно малой, но фиксированной положительной величиной, то в пределе получим + ¥. Более того, + ¥ мы получим и в том случае, когда заменим 
на величину 
, также стремящуюся к нулю, но медленнее, чем (либо заменим показатель степени n на быстрее растущую величину 
). Заменив же величину на величину 
, быстрее стремящуюся к нулю (или показатель степени п на показатель 
), мы получим в пределе 1. В этом предлагается убедиться самостоятельно или с помощью преподавателя на практических занятиях. Там же вы увидите, что неопределенность типа может давать и любые другие ответы между 1 и + ¥. С неопределенностями других типов мы еще не раз встретимся при вычислении пределов.
Функция 
называется экспонентой и обозначается exp(x).
Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x:
.
(Напомним, что 
, поскольку 
).
ЛЕКЦИЯ 2. ФУНКЦИЯ, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 449;