Простейшие расчеты притоков к скважинам

Движение воды к совершенной артезианской скважине (колодцу). Будем считать, что фильтрация имеет место в однородном (водопроводимость постоянная), горизонтально залегающем пласте, который подстилается водоупором. Тогда вода со всех сторон будет притекать к скважине равномерно через боковую поверхность цилиндра _с радиусом r и высотой m (мощность пласта). На расстоянии r_с от оси скважины существует напор Н_с, а на расстоянии, равном радиусу влияния R обозначим через Н_е. = const. При этом величина понижения уровня S_{r = R} = 0. Напор на произвольном расстоянии от оси скважины r обозначим через Н. Напор будет изменяться от Н_с, до Н_е при изменении радиуса от r_с .до R. Расход потока определяется как

Q = kIF, где F – это боковая поверхность цилиндра с радиусом r. Тогда F = 2πrm, а напорный градиент I = dH/dr. Тогда расход запишется в виде:

( 39 )

Разделив переменные и подставив пределы интегрирования, имеем:

( 40 )

Интегрирование этого уравнения дает:

( 41 )

Учитывая, что Н_е - Н_с, = S_с то полученная формула пригодна для установившейся величины понижения (стационарный режим фильтрации) при производительности скважины Q.

Из ( 41 ) можно получить выражение для дебита совершенной скважины Q.

( 42 )

Модификации формул ( 39) и ( 40 ) известны под названием формул Дюпюи.

Из ( 42 ) следует, что деьит напорной скважины связан с величиной понижения S линейной зависимостью, поскольку величина является для данной скважины постоянной. При этом Q = A·S. Коэффициент A представляет удельный дебит скважины q (приходящийся на 1 метр понижения уровня). Разделив обе части ( 42 ) на понижение S_с получим относительно А:

( 43 )

При больших понижениях величина удельного дебита может не оставаться постоянной величиной.

Выражение ( 42 ) можно использовать также чтобы построить кривую депрессии. Можно определить понижение на S. любом расстоянии r от оси скважины. Для любого промежуточного сечения имеем:

( 44 )

Тогда напор на расстоянии r от оси скважины будет:

( 45 )

Если ирасположить две наблюдательные скважины на расстояниях r₁ и r₂ и в них измерить положение уровня Н₁ и Н₂ то на любом другом расстоянии можно вычислить уровень Н_r

( 46 )

и построить кривую депрессии. Если имеем только одну наблюдательную скважину, используют:

( 47 ).

Движение подземных вод к грунтовой совершенной скважине. Здесь мощность уже будет h и расход: ( 48 )

После интегрирования в пределах r =r_c, h =h_c, r = R, h = H_e получим формулу для расхода

( 49 )

Эту формулу можно получить исходя из решения для напорной скважины подставив .

Действительно заменив в ( 42 ) m(He – Hc) на , получим формулу расхода:

( 50 )

Решая это уравнение относительно расхода Q получаем формулу производительности скважины, расположенной на расстоянии L от реки:

( 51 )

Эта формула известна под названием формулы Ф. Форхгеймера.

Для совершенной артезианской скважины, расположенной у реки, с которым напорный поток имеет гидравлическую связь, расход выражается формулой:

( 52 )

Для определения величины понижения на стенке скважины из ( 52 ) можно получить выражение:

( 53 )

Лекция 5