Решение.

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Лекция 1. Матрицы и определители.

План лекции

1.1. Матрицы, основные определения.

1.2. Действия над матрицами.

1.3. Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы.

1.4. Определение определителя квадратной матрицы.

1.5. Свойства определителей.

1.6. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя -го порядка.

1.7. Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.

1.1

Матрицейназывается прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, составленная из чисел или каких-либо других объектов. Матрицы обозначаются

, (1.1)

или коротко

. (1. )

Отдельные члены матрицы называются её элементами, они обозначаются , где - номер строки, - номер столбца ( ; ), в которых находится этот элемент. Каждая матрица имеет определенные размеры, т.е. количество строк и столбцов матрицы. Если , то матрица называется квадратной, тогда говорят о её порядке. Матрица, у которой всего один столбец (строка), называется - матрицей-столбцом (матрицей-строкой). Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается . Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной и обозначается . Если в матрице поменять местами строки со столбцами, то получим матрицу , которая называется транспонированной. Матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической.

Две матрицы и одинакового размера равны, если равны их соответствующие элементы, т.е. для , .

1.2

Рассмотрим операции над матрицами. Многие арифметические операции с матрицами логически вытекают из аналогичных операций со скалярными величинами.

Суммойдвух матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е. , где , .

Замечание. Складывать можно лишь те матрицы, которые имеют одинаковые размеры.

Пример 1. Пусть матрица характеризует заболеваемость учеников гриппом и ОРВИ в 10 А классе в зимние месяцы, а матрица характеризует заболеваемость учеников гриппом и ОРВИ в 10 Б классе в этот же период. Причем строки матриц – характеризуют число заболевших по месяцам, а столбцы матриц – число заболевших соответственно гриппом и ОРВИ

и .

Складывая эти матрицы, получим третью матрицу , характеризующую заболеваемость в 10-х классах:

.

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на число , т.е. , , .

Пример 2. Пусть среднее количество, продаваемых в аптеке в день шприцев, отражено в матрице . Первый столбец характеризует продажу шприцев по 2 мл, второй по 5 мл, третий столбец по 10 мл. Первая строка продажу шприцев отечественного производства, а вторая строка – импортного производства. Тогда матрица будет характеризовать недельный уровень продаж каждого из видов шприцев.

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , у которой каждый элемент равен сумме парных произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -того столбца матрицы , т.е.

, .

Замечание 1. Произведение матриц существует только в том случае, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Замечание 2. Произведение матриц не коммутативно (не выполняется перестановочный закон умножения).

Пример 3. Средства на вакцинацию населения перечисляются страховой компанией. Пусть в матрице первая строка характеризует потребность поликлиники в вакцинах в сентябре, вторая строка – потребность в вакцинах в октябре, первый столбец – количество доз вакцины против столбняка, второй столбец – количество доз вакцины против кори, третий столбец – количество доз вакцины против гриппа. В матрице первый столбец характеризует стоимость вакцинации, а второй столбец – стоимость вакцин; первая строка характеризует затраты на вакцинацию против столбняка, вторая строка – против кори, третья строка – против гриппа. Тогда

Таким образом, в матрице элемент 6100 - стоимость вакцинации в сентябре, 10200 - стоимость вакцинации в октябре, 13250 – стоимость вакцин, необходимых для вакцинации населения в сентябре, 22750 - стоимость вакцин в октябре.

1.3

Матрица называется матрицей ступенчатого вида, если все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, т.е. для всех .

Рангом матрицы назовем число ненулевых строк в матрице, сведенной к ступенчатому виду. Для матрицы А ранг матрицы обозначают rang A.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду применяют элементарные преобразования матрицы, к числу которых относят следующие.

1. Перестановка любых строк матрицы.

2. Прибавление к одной строке элементов другой строки.

3. Умножение всех элементов одной строки матрицы на число .

4. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число .

5. Вычеркивание нулевой строки.

6. Вычеркивание из двух или нескольких равных строк всех кроме одной.

7. Вычеркивание из двух или нескольких пропорциональных строк всех кроме одной.

Замечание 1. Элементарные преобразования матрицы можно проводить не только над строками, но и над столбцами.

Замечание 2. Иногда говорят о ранге матрицы по строкам и о ранге матрицы по столбцам, причем доказывают их равенство, и далее говорят просто о ранге матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Сводим матрицу к ступенчатому виду:

~^*)~ ^**)~

~ ^***)~ ^****) .

При сведении матрицы к ступенчатому виду выполнялись следующие элементарные преобразования матрицы:

^*) первую строку матрицы умножали на -5, 2, -2 и прибавляли соответственно ко второй, третьей, четвёртой строке матрицы;

^**) третью строку умножали на -1 и прибавляли ко второй строке;

^***) вторую строку умножали на -2, на -5 и прибавляли соответственно к третьей и к четвёртой строке;

^****) вычеркнули четвёртую строку, так как она пропорциональна третьей строке.

В результате перечисленных элементарных преобразований матрица свелась к ступенчатому виду. Таким образом, .

1.4

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, равное . Определитель обозначают

(1.2)

Элементы матрицы называются элементами определителя , элементы образуют главную диагональ, а элементы - побочную.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка . Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число, равное

и обозначаемое символом , т.е.

(1.3)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1.3) брать со знаком «+», какие - со знаком «минус», полезно правило, называемое правилом треугольника (рис. 1.1).

Рисунок 1.1.Правило треугольника.

Каждое произведение с указанным знаком, входящее в (1.3), называется членом определителя. Среди входящих в произведение элементов имеются представители от каждой строки и от каждого столбца. Эти элементы можно в каждом члене расположить в порядке возрастания первого индекса, как и сделано в (1.3). Тогда номера столбцов в каждом члене определителя представляют собой всевозможные перестановки из чисел 1, 2, 3. При этом перестановку 1, 2, 3 называют основной. Говорят, что в перестановке произведена транспозиция двух определенных её элементов, если эти элементы заменены местами. Перестановка называется четной(нечетной), если она получается из основной перестановки при помощи четного (нечетного) числа транспозиций.

Пусть дана перестановка , где , это числа 1, 2, 3, взятые в некотором порядке. Число транспозиций, с помощью которых можно получить эту перестановку из основной перестановки, обозначим через . Теперь можно дать другое эквивалентное (1.3) определение определителя третьего порядка.

Определителем третьего порядка называется число , равное алгебраической сумме всевозможных произведений вида , где - всевозможные перестановки основной перестановки 1, 2, 3, т.е.

. (1.4)

Данное определение можно распространить и на случай определителя -го порядка.

Определителем n-го порядканазывается число

, (1.5)

равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и столбца, причем знак каждого произведения определяется числом , равным числу транспозиций при переходе от основной перестановки 1, 2, ... , к перестановке . Произведение называется членом определителя.

1.5

Укажем основные свойства определителей, которые могут быть доказаны исходя из определения определителя.

1⁰. При транспонировании определитель не меняет своего значения.

2⁰. Если все элементы какой - либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3⁰. Если в определителе поменять местами две какие-либо строки, то абсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный.

4⁰. Определитель, содержащий две равные строки, равен нулю.

5⁰. Если все элементы какой-нибудь строки определителя умножить на число , то значение определителя изменится в раз.

6⁰. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7⁰. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель равен нулю.

8⁰. Определитель не меняет своего значения, если к элементам одной из его строк прибавить линейную комбинацию других строк.

Замечание. Исходя из свойства 1⁰ свойства 2⁰- 8⁰ остаются справедливы и для столбцов.

Отмеченные свойства определителей используются при их вычислении.

1.6

Миноромкакого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент. Минор элемента обозначается .

Алгебраическим дополнениемэлемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается , т.е. .

На практике для вычисления определителей может быть применена следующая теорема.

Теорема.Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. для определителя -го порядка имеем:

. (1.6)

Формула (1.6) называется разложением определителя по элементам -той строки.

На практике обычно пользуются следствием из этой теоремы.

Следствие.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю кроме одного, то определитель равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Замечание.К виду, указанному в следствии, определитель приводят с помощью свойства 8⁰ определителя.

Пример 5. Вычислить определитель матрицы .

Решение.

.

Замечание 1. При переходе ко второму определителю четвёртую строку умножали на 2 и на -1 и добавляли соответственно к первой и третьей строкам определителя.

Замечание 2. - алгебраическое дополнение элемента, стоящего в четвёртой строке и первом столбце, т.е. .

Замечание 3. Далее при вычислении определителя с помощью второго столбца получали нули во второй строке, умножая этот столбец на 2 и на 4 и добавляя соответственно к первому и третьему столбцам.

Замечание 4. - алгебраическое дополнение элемента , стоящего во второй строке и втором столбце определителя третьего порядка.

Замечание 5. Определитель можно было раскрыть по правилу треугольника:

Следовательно, вновь получаем .

1.7

Строки (столбцы) матрицыназываются линейно зависимыми, если одна (один) из них есть линейная комбинация других. В противном случае строки (столбцы) матрицы называются независимыми. Несложно заметить, что в матрице, сведенной к ступенчатому виду, строки линейно независимы. Исходя из этого, можно дать другое определение ранга матрицы.

Рангом матрицыназывается число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

Другой способ вычисления ранга матрицы основан на следующих свойствах:

. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

. Если у определителя все миноры -го порядка равны нулю, то и все миноры более высокого порядка тоже равны нулю.

. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Метод определения ранга матрицы, основанный на свойстве носит название метода окаймляющих миноров. Для нахождения ранга этим методом

– находят элемент в матрице, отличный от нуля. Это есть минор 1-го порядка.

– окаймляют выделенный минор, добавляя какой-либо столбец и какую-либо строку.

– если окаймляющий минор отличен от нуля, то переходят к окаймляющему минору следующего порядка.

– если окаймляющий минор равен нулю, то находят другое окаймление минора предыдущего порядка.

– если был найден минор -го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры -го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен .

Пример 6. С помощью метода окаймляющих миноров найти ранг матрицы

.

Решение. Находим ненулевой минор 1-го порядка. Начнем с левого верхнего угла: .

Окаймляем его, добавляя 2-ю строку и 2-ой столбец:

.

Окаймляем минор . Добавим 3-ю строку и 3-й столбец:

Окаймляем минор . Добавим 4-ю строку и 4-й столбец:

.

Составляем другое окаймление минора . Добавляем к ненулевому минору третьего порядка 4-ю строку и 5-ый столбец:

.

Так как все окаймляющие миноры 4-го порядка равны нулю, то наивысший порядок отличных от нуля миноров равен 3. Следовательно, .