Рішення

На першому етапі рішення задачі застосовується до функції Т(х,t) пряме перетворення Фур'є по перемінній х

T(x,t) ®F(s,t)= (4)

де T(x,t) – оригінал (шукана функція); F(s,t) зображення для функції
T(-¥ < s< + ¥ - деякий параметр).

Метою даного етапу є перебування зображення F(s,t) за допомогою перетвореної системи рівнянь (1) – (2) відповідно до формули (4). Використовуючи формули, аналогічні (4), одержуємо для лівої і правої частин рівняння (1), а також початкової умови (2) наступні перетворення Фур'є

, (5)

(6)

Застосовуючи до інтегралу, що розміщений в правій частині (6), двічі метод інтегрування по частинам і враховуючи граничні умови (3), одержуємо, що

(7)

Тоді

(8)

Для початкової умови (2) маємо

(9)

Таким чином, враховуючи (5) - (9) для знаходження зображення F(s,t) одержуємо звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку з розподілювальними перемінними (замість диференціального рівняння в частинних похідних 2-го порядку для функції Т(х,t)

(10)

з початковою умовою

(11)

Рішення рівняння (10) з урахуванням (11) одержуємо прямим інтегруванням лівої і правої його частин

(12)

На другому етапі рішення задачі для знаходження шуканого рішення Т(х,t) використовується зворотне перетворення Фур'є

(13)

Підставляючи (12) у (13), одержуємо

(14)

З урахуванням (9) для визначення T(x,t) одержуємо наступний подвійний інтеграл

(15)

Для обчислення внутрішнього інтеграла I скористаємося відомою формулою Ейлера

(16)

Одержуємо

(17)

Враховуючи, що I^¢ = 0 (інтеграл від непарної функції із симетричними межами), маємо

(18)

Вираз для інтегралів типу (18) можна знайти в спеціальних довідниках[1]

(19)

Підставляючи (19) у (15), одержуємо наступне рішення вихідної задачі

(20)

Як приклад використання формули (20) розглянемо окремий випадок із заданою функцією j(х) у вигляді деякого прямокутного імпульсу

(21)

де х – у м, j(х)- у ^°С.

Підставляючи (21) у (20), маємо

(22)

Зведемо інтеграл, що розміщений в правій частині (18), до спеціальної функції (інтеграл помилок, інтеграл Лапласа, інтеграл імовірностей)

erf(z) = , (23)

значення якої для різних значень аргументу z можна знайти в довідковій літературі. Для цього зробимо заміну перемінних в інтегралі (23)

(24)

Одержуємо

(25)

З урахуванням (23) одержуємо наступну формулу для розподілу температури в розглянутому середовищі в будь-який момент часу

(26)

де Т - у °С; t- у с.

Задача 2 Процес нагрівання виробу рухливим джерелом теплового впливу описується наступним рівнянням теплопровідності (рис.3, рухлива система координат).

Рисунок 3 – Схема теплової дії на виріб ( - вузький тонкоплівочний елемент, тонкий, довгий стрижень та інше)

(27)

початковою умовою

(28)

і граничними умовами

при х®±¥, (29)

де V - швидкість руху джерела; F_v(x,t) - об'ємна густина теплового потоку;
Т₀ = const - початкова температура виробу. Потрібно, використовуючи метод інтегральних перетворень Фур'є, знайти загальне рішення задачі T(x,t).

Рішення.

Шляхом відповідної заміни перемінних перетворимо систему рівнянь
(27) – (29) до стандартного (фундаментального) виду, а потім для рішення отриманих рівнянь використаємо метод інтегральних перетворень Фур'є. Спочатку зробимо заміну

(30)

Одержуємо

(31)

(32)

при х ®±¥ (33)

Далі виключимо з рівняння (31) член , зробивши заміну перемінних

(34)

Підставляючи (34) у (31) - (33), одержуємо для функції уже фундаментальну систему рівнянь

Як і при рішенні першої задачі, для знаходження функції на 1-муетапі використовуємо пряме перетворення Фур'є по координаті х

(39)

Також як і при рішенні попередньої задачі, знайдемо F( , перетворивши (35) - (37) відповідно до (39)

(40)

(41)

(42)

Використовуючи (40)-(42), для знаходження F(s,t) одержуємо звичайне лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку, яке уже можна вирішити одним із стандартних методів (наприклад, методами Бернуллі, Ейлера та ін.)

(43)

(44)

Знайдемо рішення (43) - (44) методом Бернуллі

(45)

де m(t) і n(t) – дві невідомі функції, що знаходяться в процесі рішення
(43) – (44). Підставляючи (45) у (43), одержуємо

(46)

Функцію n(t) знаходимо, спростивши (46)

(47)

Інтегруючи (47), (константу в рішенні опускаємо) одержуємо

(48)

З урахуванням (46) і (48) знаходимо

(49)

Звідси

, (50)

де с – деяка постійна. Підставляючи (48) і (50) у (45), одержуємо

(51)

З урахуванням початкової умови (44), остаточно, для F(s,t) одержуємо наступний вираз

(52)

На другому етапі рішення задачі для знаходження оригіналу скористаємося зворотним перетворенням Фур'є для функції F(s,t)

(53)

Підставляючи (42) і (52) у (53), одержуємо

(54)

Згрупувавши інтеграли в (54) і розбивши їх на внутрішній і зовнішній, знаходимо

(55)

Також як і в попередній задачі, для знаходження внутрішнього інтеграла використовується (16) і довідкова література

(56)

Підставляючи (56) у (55), одержуємо наступне рішення для функції

(57)

Використовуючи (30), (34) і (57), остаточно, для рішення вихідної задачі маємо

(58)

Розглянемо джерело теплового впливу з нормально розподіленою потужністю (гаусового типу)

, (59)

де Р(t) – потужність джерела в центрі впливу; k(t) коефіцієнт зосередженості джерела; Н, В – відповідно товщина і ширина елемента. Підставляючи (59) у (58) і враховуючи що Р(t) =Р₀ і k(t) =k₀ (Р₀ і k₀ - постійні величини), одержуємо

(60)

Формула (60) дозволяє проводити розрахунки розподілів температури в різних тонкоплівкових виробах машинобудування, точного приладобудування, космічної й авіаційної техніки та ін. при їхній обробці рухливими концентрованими джерелами тепла (різець, фреза, електронний промінь, лазерне випромінювання та ін).