Методика методу розділення перемінних

Крок 1. (Знаходження елементарних розв’язків рівняння з частковими похідними).

Ми хочемо знайти функцію T(x,t), що є розв’язком задачі (1), (4) – (6). Будемо шукати розв’язок, представлений у вигляді (7). Для цього підставимо вираз (7) у рівняння (1). У результаті підстановки одержуємо

(9)

Тепер виконаємо операцію, властиву даному методу: розділимо обидві частини останнього рівняння на , у результаті чого одержуємо

(10)

Про цей вираз говорять, що в ньому змінні розділені, тобто ліва частина рівняння залежить тільки від t, а права частина тільки від x. Тому що x і t не залежать один від одного, то кожна частина цього рівняння повинна бути константою. Позначимо цю константу k, тоді

(11)

або

(12)

Тепер можна вирішити кожне з цих звичайних диференціальних рівнянь. Добуток відповідних розв’язків буде задовольняти вихідному рівнянню з частковими похідними. (Помітимо, що ми істотно спростили вихідний розв’язок з частковими похідними другого порядку, перетворивши його в два звичайних диференціальних рівняння).

Звернемо тепер увагу на наступну важливу обставину: константа поділу k повинна бути негативною[2] (іншими словами функції N(t) повинні прагнути до нуля при t ® ¥). Маючи це на увазі, введемо позначення k = - w², де w не дорівнює нулю (у цьому випадку вираз - w² буде завжди негативним). З урахуванням нового позначення для константи розподілення два звичайних диференціальних рівняння запишемо у вигляді

(13)

Отримані рівняння є стандартними звичайними диференціальними рівняннями. Їхні загальні розв’язки записуються у вигляді

(14)

де А, В, С – довільні постійні. Отже, функції виду

(15)

(де С₁=А×В і С₂ = А×С – довільні постійні) задовольняють рівнянню (1). Отже, ми одержали нескінченний набір функцій, що задовольняють вихідному рівнянню з частковими похідними.

Крок 2. (Знаходження розв’язків, що задовольняють граничним умовам).

Положення зараз таке: у нас є нескінченна безліч розв’язків вихідного рівняння, але не усі вони задовольняють граничним чи початковим умовам. Наступний крок складається у виборі такої підмножини розв’язку вигляду (15), що задовольняють граничним умовам (4) і (5). Щоб зробити це, підставимо розв’язок (15) у ці граничні умови. У результаті одержуємо

(16)

(17)

Друга гранична умова накладає обмеження на можливі значення константи поділу w: вона повинна бути коренем рівняння sinwl = 0. Іншими словами, щоб задовольнити умові необхідно зажадати виконання співвідношень

, (18)

або

(19)

Відзначимо, що можна задовольнити другій граничній умові якщо покласти С₁ = 0, але в такому випадку розв’язок (15) буде тотожно дорівнювати нулю. Отже, ми закінчили виконання другого кроку і маємо у своєму розпорядженні нескінченний набір функцій

, (20)

кожна з який задовольняє рівнянню з частковими похідними і граничними умовами.[3] Розв’язок вихідної задачі буде являти собою деяку суму з цих найпростіших функцій. При цьому конкретний вигляд суми буде залежати від початкової умови.

Крок 3. (Знаходимо розв’язок задовольняючого рівнянню, граничним і початковим умовам). Останній крок полягає в знаходженні такої суми фундаментальних розв’язків

(21)

тобто в підборі таких коефіцієнтів С_1п, що функція буде задовольняти початковій умові (6). Підстановка (21) у (6) дає

(22)

Вираз (22) являє собою розкладання функції j(х) у ряд Фур'є, відповідно до якого вираз для коефіцієнта С_1п має наступний вигляд

(23)

Підставляючи (23) у (21), одержуємо загальний розв’язок вихідної задачі:

(24)

Можна переконатися в тому, що отриманий нами розв’язок задовольняє всім умовам вихідної задачі. На цьому закінчується крок 3.