Перетворення неоднорідних граничних умов в однорідні при використанні методу розділення перемінних
Вище було показано, що метод розділення перемінних є досить могутнім, а одержувані з його допомогою розв’язки представляються в зручній формі. Проте цей метод застосовний не до всіх задач. Для застосовності методу розділення перемінних граничні умови повинні бути лінійними й однорідними, тобто
Покажемо, яким чином задача з неоднорідними граничними умовами вигляду:
рівняння теплопровідності
граничні умови
(неоднорідні граничні умови) (25)
початкова умова
(26)
може бути вирішена шляхом зведення її до задачі з однорідними граничними умовами. Розглянемо найпростішу задачу про поширення тепла в теплоізольованому стержні, кінці якого підтримуються при постійних температурах Т1, Т2, тобто
(27)
, (28)
, (29)
(30)
Труднощі цієї задачі в тому, що, оскільки граничні умови в ній неоднорідні, ми не можемо вирішувати її методом розділення перемінних. Однак, мабуть, що при t ® ¥ розв’язок нашої задачі прагне до стаціонарного розв’язку, що лінійно змінюється (уздовж х) від температури Т1 до температури Т2 (Рис.3).
Іншими словами, розумно припустити, що температуру в нашій задачі можна представити у вигляді суми двох додатків:
T(x, t) = стаціонарна температура (граничний розв’язок для великих часів) + перехідна температура (частина розв’язку, що залежить від початкових умов і прагне до нуля з ростом часу) =
У даному випадку наша задача знайти перехідну температуру U(x,t)
Підставляючи
(31)
у вихідну задачу (22)- (30), ми приходимо до нової задачі щодо невідомої функції U(x,t). Вирішивши цю задачу щодо нової невідомий функції U(x,t), можна додати її до стаціонарного розв’язку, у результаті чого вийде шукана функція T(x,t). Проробляючи ці прості перетворення з (27) – (30), одержимо
(32)
, (33)
, (34)
, (35)
де нова, але відома початкова умова.
Ця задача не тільки з однорідним рівнянням, але і з однорідними граничними умовами, що дозволяє вирішити її методом розділення перемінних, використовуючи розглянутий вище метод розділення перемінних, для функції U(x,t) одержуємо наступний вираз
, (36)
де
(37)
Остаточно, розв’язок вихідної задачі виходить у такому вигляді
(38)
Що стосується граничних умов із залежними від часу правими частинами, то основні ідеї тут такі ж, як і в попередній задачі, але трохи більш складні.
Перетворення залежних від часу граничних умов у нульові.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 761;