Тема: Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел.

8.1. Вычисление площадей плоских фигур.

8.1.1. Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.

Пусть на плоскости задана ограниченная область D.

Область D проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что любая прямая , пересекает границу области D в двух точках. Прямые и могут иметь с границей области общие отрезки.

В данном случае можно записать уравнение кривой, ограничивающей область D снизу и уравнение кривой, ограничивающей область D сверху .

Отрезок [a,b] произвольным способом разобьем на n частей точками . Это разбиение обозначим через Т. Через обозначим наибольшую из длин частей разбиения. Пусть , тогда .

В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке .

Прямые разобьют область D на n частей. К-тую часть разбиения заменим прямоугольником с основанием и высотой .

Площадь S фигуры D приближенно равна .

Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой.

В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и

.

Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.

Замечание 1. Область D можно проецировать на ось OY на отрезок и тогда , где кривая ограничивает область D снизу, а кривая ограничивает область D сверху.

Замечание 2. Если область D такова, что сразу нельзя по предыдущим формулам вычислить площадь в области D, то область D надо разбить на конечное число частей, не имеющих общих внутренних точек, так что можно вычислить площадь каждой из частей. Тогда площадь в области D вычислится как сумма площадей частей разбиения.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Область D проецируется на ось OX в отрезок [0,3]. Сверху область D ограничена линией

Снизу область D ограничена линией . По формуле находим:

8.1.2. Вычисление площади фигуры, граница которой задана параметрически.

Пусть область D проецируется на ось OX в отрезок [a,b] и . Функция x=x(t) на промежутках и монотонна и имеет непрерывную производную.

В частности, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, причем уравнение верхней кривой , задано параметрически

, где x(t) монотонная функция имеет непрерывную производную на , , то где .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом . Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде: x=acost, y=bsint,

.

8.1.3. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Вычислим теперь площадь области D в полярной системе координат.

Пусть область D ограничена лучами и . Будем предполагать, что любой луч , , пересекает границу области D в двух точках. В этом случае область D будет ограничена двумя линиями , и лучами .

Угол между лучами и разобьем произвольным способом на n частей лучами .

Это разбиение обозначим через (Т), , где .

В каждом частичном угле выберем произвольным способом луч .

К-тому углу поставим в соответствие два круговых сектора с радиусами и .

Площадь области D приближенно равна

.

Естественно за S принять предел таких сумм при .

Выражение, стоящее под знаком предела, является интегральной суммой для функции .

Следовательно,

.

Рассмотрим два частных случая.

1) Пусть полюс 0 лежит на границе области D. В этом случае , а .

2) Пусть полюс 0 лежит внутри области D

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

8.2. Вычисление объемов тел.

Общее определение объема тела связано с изучением двойного интеграла и будет изложено в III семестре. Сейчас мы рассмотрим некоторые частные случаи.

8.2.1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть в пространстве дано ограниченное тело, границей которого является замкнутая поверхность.

Данная область проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что известна площадь сечения данного тела плоскостью .

Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками . Пусть , .

Плоскости разобьют данное тело на n частей.

В каждом из отрезков разбиения произвольным способом выберем по точке .

Объем К-той части разбиения данного тела приближенно равен , а объем всего тела приближенно равен

.

За объем тела принимают предел сумм при , т.е.

.

Сумма, стоящая под знаком предела, является интегральной суммой для функции s(x), поэтому

.

Отметим, что мы дали определение объема тела и указали способ его вычисления.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Данный эллипсоид проецируется на ось OX в отрезок . плоскость пересекает тело по области, границей которой является эллипс . Найдем полуоси этого эллипса ; .

Следовательно, полуосями эллипса являются

Поэтому, площадь сечения равна

.

Объем тела вычисляется по формуле

.

Если a=b=c, то тело, ограниченное эллипсоидом, является шаром.

, где a – радиус шара.

8.2.2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX.

В этом случае и .

Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках.

.

Пример. Вычислить объем тела вращения круга , , вокруг оси OX.

Такое тело называется тором.

Фигура D ограничена сверху полуокружностью , а снизу полуокружностью . Поэтому

Последний интеграл есть площадь половины круга радиуса r. Поэтому .