Тема: Интегрирование четных и нечетных функций. Несобственные интегралы.

7.1. Интегрирование четных и нечетных функций.

Пусть - четная функция на отрезке , т.е. . Рассмотрим интеграл

В интеграле сделаем замену переменной .

В результате получим

Пусть нечетная функция на отрезке , т.е. .

Как и в предыдущем случае в интеграле сделаем замену . В результате получим: .

.

7.2. Несобственные интегралы.

До сих пор мы рассматривали интегралы , для которых отрезок конечен и функция ограничена на отрезке . При этом .

На практике часто встречаются случаи, когда задана на бесконечном промежутке и непрерывна на нем либо задана на конечном отрезке , но неограниченна на нем. Если промежуток бесконечен, то при любом разбиении его на конечное число частей один из промежутков будет бесконечным, сумма равна , а не существует. Если же определена на конечном отрезке , но неограниченна, то всегда существует отрезок разбиения , на котором неограниченна и на этом отрезке можно выбрать точку так, что , где М наперед заданное число и в этом случае не существует.

Если задана на бесконечном промежутке и непрерывна на нем либо задана на конечном промежутке и неограниченна на нем, то интегралы от таких функций определяются с помощью предельного перехода и эти интегралы называются несобственными.

7.2.1. Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку.

Пусть задана и непрерывна на промежутке .

Рассмотрим интеграл , этот интеграл существует , т.к. непрерывна на отрезке .

Положим по определению

. (1)

Интеграл называется несобственным интегралом. Если предел в равенстве (1) существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел в равенстве (1) не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть теперь функция задана и непрерывна на промежутке .

Несобственный интеграл определяется аналогично:

Далее, пусть функция задана и непрерывна на всей числовой оси .

Несобственный интеграл определяется следующим образом:

,

при условии, что оба интеграла справа сходятся.

Заметим, что вместо 0 можно взять любое конечное число а и при этом сходимость несобственного интеграла и его значение не изменится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Если непрерывна и положительна в промежутке , то несобственный интеграл есть площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямой и графиком функции . Если несобственный интеграл сходится, то соответствующая криволинейная трапеция имеет площадь равную несобственному интегралу . Если же несобственный интеграл расходится, то криволинейная трапеция площади не имеет.

Механический смысл несобственного интеграла.

Если непрерывна и неотрицательна на промежутке , то есть масса стержня с плотностью .

Пример. Вычислить

1) Пусть , тогда

2) ; .

Следовательно, при несобственный интеграл расходится, а при сходится.

Пример. Вычислить интеграл .

.

Пример. Вычислить

7.2.2. Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке.

Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.

Рассмотрим произвольное .

Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке .

Несобственный интеграл определяется следующим равенством

.

Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:

, где ; .

Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством:

, если оба интеграла справа существуют.

Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.

Можно показать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от выбора точки с.

Пример. Вычислить интеграл .

1)

2) .

Таким образом, несобственный интеграл , сходится, а при расходится.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, осью OY, прямой и графиком функции при .

7.2.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.

В данном пункте под несобственным интегралом мы будем понимать какой-либо из ранее рассмотренных несобственных интегралов. В частности, a и b могут равняться .

Теорема 1. Если в рассматриваемом промежутке выполняются неравенства , то из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . (Без док-ва).

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 2. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. (Без док-ва).

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

- сходится (см. п. 7.1.1.). По теореме 1 сходится интеграл . Это означает, что данный интеграл сходится абсолютно. Следовательно, по теореме 2 данный интеграл сходится.

Отметим, что данные рассуждения не позволяют найти точное значение интеграла .