Тема: Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях.
4.1. Вычисление интегралов вида: , где , символ рациональности функции.
натуральные числа.
Пусть наименьшее общее кратное.
В данном интеграле сделаем замену
, тогда , где целое положительное число для любого , .
Далее имеем:
и
Сделав подстановку, получим:
Таким образом, вычисление данного интеграла с помощью указанной замены сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.
Пример. Вычислить интеграл .
В данном интеграле сделаем замену:
В результате замены получим:
Неправильную рациональную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, для этого поделим числитель на знаменатель:
Таким образом, имеем:
4.2. Вычисление интегралов вида:
Выражение означает следующее: если , то есть рациональная функция от .
Интегрирование данных выражений можно осуществить различными способами.
4.2.1. Интеграл после выделения полного квадрата под знаком квадратного корня и замены сводится к интегралу одного из следующего типов:
а)
б)
в)
В свою очередь, последние три интеграла соответствующей подстановкой
сводятся к интегралу вида:
Пример. Вычислить:
Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене x +2x+3, получим:
, где ,
Делая подстановку , получим:
Пример. Вычислить:
Делая подстановку , , , получим:
4.2.2. Подстановка Эйлера.
Интеграл , , может быть сведен к вычислению интеграла от рациональной функции с помощью подстановки , которая носит имя Эйлера, впервые применившего эту подстановку.
Пусть для определенности:
Возведем обе части последнего равенства в квадрат, в результате получим:
; ;
.
Используя данную подстановку, будем иметь:
,
т.к. рациональная функция от рациональной функции есть рациональная функция и произведение двух рациональных функций есть рациональная функция.
Пример. Вычислить:
При вычислении данного интеграла используем подстановку Эйлера, т.к. коэффициент при x больше 0.
; ; ;
; ;
.
Осуществляя подстановку, получим:
Пример. Вычислить:
Применим снова подстановку Эйлера:
,
(см. пример 25)
Далее имеем:
4.3. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях:
.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1683;