Лекция 2.

Лекция 1.

Тема: Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.

1.1. Первообразная

Определение. Первообразной для функции в интервале называется функция , производная которой равна , т.е. .

Пример. Найти первообразную для функции , , так как . Легко заметить, что любая функция является первообразной для функции , где – const.

Таким образом, если функция имеет одну первообразную , то имеет бесконечно много первообразных т.к. .

Теорема: Если функция в интервале имеет первообразную , то любая другая первообразная отличается от данной на константу.

Доказательство: Пусть и – две первообразные для функции в интервале , т.е. и . Рассмотрим функцию .

Функция дифференцируема в интервале как разность двух дифференцируемых функций. Следовательно, непрерывна в интервале . Рассмотрим произвольный отрезок принадлежащий . Функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале . Следовательно, на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой выполняется равенство , где некоторая точка интервала .

Имеем .Поэтому и . Отсюда следует, что и . ▼

В дальнейшем будет доказано, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства.

Определение: Неопределенным интегралом для функции называют совокупность всех ее первообразных .

Неопределенный интеграл обозначается .

, где какая-либо одна из первообразных для . называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

Доказательство. Пусть одна из первообразных функции , тогда

.

Таким образом, действие интегрирования проверяется дифференцированием.

2.

Свойство 2 вытекает из свойства 1.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. .

Таблица интегралов.

Из определения интеграла и формул дифференцирования функций следуют равенства:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11)

Все формулы проверяются дифференцированием.

Так из равенства:

следует справедливость второй формулы.

Проверим теперь формулу 3 при .

Имеем: и .

В последнем равенстве применили правило дифференцирования сложной функции.

1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Замена переменной в неопределенном интеграле есть действие обратное дифференцированию сложной функции.

Справедливо равенство:

, где (1)

В самом деле, пусть первообразная для тогда

Использование формулы (1) слева направо называется подведением под знак дифференциала.

Приведем некоторые примеры:

Пример

, где

В данном примере подводим под знак дифференциала 2х

Имеем: отсюда .

Пример , где

Пример

Пример

, т.к.

В дальнейшем мы покажем использование формулы (1) замены переменной справа налево.

Лекция 2.