Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

2.1. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения.

Имеем:

Проинтегрируем обе части равенства:

отсюда получаем:

Пример

Пример

В интеграле еще раз применим интегрирование по частям:

В данном примере интегрирование по частям применено дважды.

Пример

, где

Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!

Пример

2.2. Интегрирование заменой переменной.

Рассмотрим формулу (1) в следующем виде:

, где обратная функция для функции . Обратим внимание на то, что при замене переменной последняя функция должна иметь обратную.

В данном интеграле сделана замена . Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.

Пример

2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие.

Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

, где и многочлены соответственно степеней m и n.

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , в противном случае рациональная дробь – неправильная.

Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби.

В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.

К простейшим рациональным дробям относятся дроби:

1)

2)

3)

4)

Пусть дана правильная рациональная дробь .

Коэффициент при у многочлена можно считать равным 1. Этого можно достичь, деля числитель и знаменатель на одно и то же число.

Многочлен имеет ровно n корней, учитывая их кратность, т.е.:

, где действительные корни, комплексные корни, кратность соответствующих корней.

Так как – многочлен с действительными коэффициентами, то каждому комплексному корню соответствует сопряженный комплексный корень той же кратности.

Пусть комплексный корень кратности , тогда тоже корень кратности . Поэтому в многочлене будет присутствовать произведение:

где

Следовательно, многочлен всегда можно представить в следующем виде:

.

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде:

где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты.

(теорема без доказательства)

Неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: равенство (2) приводят к общему знаменателю, которым является . Затем приравниваем числители в левой и правой части полученного равенства. Далее приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части последнего равенства. В результате получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию простейших рациональных дробей.