Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. приращение функции и дифференциал dy – эквивалентные б.м.в. (при ), т.е.

~ ,

то в приближенных методах вычислений пишут

≈ ,

с точностью до б.м.в. более высокого порядка малости.

Учитывая, что дифференциал функции по определению

,

получим

.

Или

,

откуда

.

Ex.1. Применяя дифференциал вычислить приближенно значение функции

y=sinx в т. x=1⁰, т.е. sin 1⁰.

Решение:

Пусть x₀=0⁰, x=1⁰, тогда Δx=1⁰ – 0⁰ = 1⁰.

тогда .

Т.к. производная , то

Или

В радианах 1⁰ .

Т.о. .

Заметим, что точное значение

.

Т.о., абсолютная погрешность не превышает одной десятитысячной.