Понятие дифференциала функции

Пусть функция определена на , , дифференцируема в точке , т.е. в окрестности точки представляется согласно (5):

.

Разность называется приращением функции в точке , а приращением аргумента. В принятых обозначениях предыдущая формула будет иметь вид:

Определение 5. Дифференциалом функции в точке называется линейная функция

.

Дифференциал - это линейная часть приращения функции. Дифференциал функции сам является функцией.

Приращение аргумента также называют дифференциалом независимой переменной и обозначают:

.

Тогда

.

Пример. Найти дифференциал функции в произвольной точке . Для этого надо:

1. Найти выражение для приращения функции в точке ;

2. В выражении для приращения функции в точке найти линейную часть, т.е. ту часть, которая содержит в первой степени;

3. Для той части приращения функции, которая осталась после выделения линейной части, доказать, что она является бесконечно малой, порядка высшего, чем , когда ;

4. Если третий шаг выполнен, то линейная часть приращения функции, найденная на втором шаге, и является дифференциалом функции в точке .

Проделаем последовательно действия всех четырех шагов для функции :

1.

2. Линейная часть полученного приращения функции - это . В этом слагаемом находится в первой степени, а в других слагаемых - и показатели степени при соответственно 2 и 3.

3. После выделения линейной части приращения осталось: . Проверим, что . Для этого вычислим:

.

Поскольку вычисленный предел равняется 0, то действительно .

Таким образом

.