Определение. Правила и формулы дифференцирования

Пусть на плоскости с д.п.с.к. X0Y определена функция y=f(x) в некоторой т. .

Def.1

(Наизусть!) Производной функции y=f(x) в т. x называют пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е. , где приращение аргумента; приращение функции.

Note	Приращение аргумента может быть как больше нуля, так и меньше нуля.

Обозначение производной

y' или f '(x) – по Лагранжу;

или – по Лейбницу;

Dy или Df(x) – по Коши;

или – по Ньютону.

В данном курсе мы будем применять первые два типа обозначений (т.е. по Лагранжу или по Лейбницу), обозначение по Ньютону применяют в курсе «Теоретическая механика».

Основные правила и формулы дифференцирования

Правила

Пусть функции y=f(x), u=u(x), v=v(x) – определены и дифференцируемы в т. .

Пусть с – произвольная постоянная (с – const).

Пусть y=y[u(x)] – сложная функция от основного аргумента x (u(x) – называют промежуточным аргументом).

Тогда:

1. производная константы;

2. производная суммы функций;

3. производная разности функций;

4. производная произведения функций;

5. производная частного функций;

6. производная обратной функции;

7. где с – const;

8. производная сложной функции.

При выводе данных правил полагаем, что

приращение функции u;

приращение функции v.

Формулы

Таблица производных элементарных функций

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Proof:

1-й метод. Пусть , тогда по лемме переменная отличается от предела на б.м.в. α, т.е. . Откуда . Пусть , ч.т.д.

2-й метод. Пусть .

Тогда , ч.т.д.

Мы воспользовались одним из определений непрерывности функции y=f(x)

.

Правила

Proof:

1. , т.е. производная константы равна нулю.

Proof:

, ч.т.д.

2. , т.е. производная суммы функций.

Proof:

, ч.т.д.

3. , т.е. производная разности функций.

Proof:

, ч.т.д.

4. , т.е. производная произведения функций.

Proof:

, ч.т.д.

5. , т.е. производная частного функций.

Proof:

, ч.т.д.

6. , т.е. производная обратной функции.

Proof:

, ч.т.д.

7. , где с – const.

Proof:

, ч.т.д.

8. , т.е. производная сложной функции.

Proof:

, ч.т.д.

Формулы

Proof:

5. .

, ч.т.д.

6. .

, ч.т.д.

7. .

Пусть e^x =y, тогда x=lny или , (т.к. y – сложная функция переменной х). Или , т.е. , ч.т.д.

8. .

Пусть , тогда , или (т.к. y – сложная функция переменной х). Или , т.е. , ч.т.д.

4. .

Пусть , тогда или (т.к. y – сложная функция переменной x).

Или , т.е. , , ч.т.д.

9. .

, ч.т.д.

10. .

, ч.т.д.

15. .

Пусть , тогда , или, учитывая, что , т.е.

, т.е. , ч.т.д.

Note	Т.к. монотонно возрастает на , то в последней формуле перед радикалом выбираем знак «+».

Дифференциал. Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в т. , т.е. , это значит, что переменная отличается от предела y’ на б.м.в. (при ).

Т.е. или – приращение функции.

Если .

Произведение двух б.м.в. есть б.м.в. более высокого порядка малости, чем , т.е. .

Т.о. .

Более того, б.м.в. и эквиваленты, т.е. предел их отношения равен единице, т.е.

~ .

Note 1

В приближенных методах вычисления используется запись .

Т.	Если две б.м.в. эквиваленты, то каждая из них является главной частью другой. Т.е. если α ~ β ( при ), то

Proof:

Пусть α ~ β , тогда по лемме переменная отличается от предела 1 на б.м.в., т.е.

, где γ – б.м.в. (если ).

Откуда , но - б.м.в. более высокого порядка малости, чем , т.е. , ч.т.д.

Note 2

Дома или на п/з аналогично доказать, что .

Def.	(Наизусть!) Дифференциалом функции y=f(x) в т. называют главную, линейную относительно приращения аргумента часть приращения функции, т.е. если , то – дифференциал функции.

Note 3

В математике принято приращение аргумента считать дифференциалом аргумента, т.е. , тогда . Откуда – читается «дэ игрек по дэ икс».

Note 4

Следовательно, если , то ; если , то и т.д.

Инвариантность формы записи дифференциала

1.Пусть x – основной аргумент функции y=f(x), .

Тогда дифференциал .

2.Пусть x – промежуточный аргумент сложной функции y=y[x(t)].

Тогда по определению дифференциала , или, учитывая формулу дифференцирования сложной функции , получим

,

т.е. формула записи для дифференциала не изменилась. Это свойство дифференциала называют инвариантностью:

.