Непрерывность сложной функции

Т.	Пусть функция u(x) – непрерывна в т. и ее окрестности. Пусть при этих значениях u(x) функция y=y(u) тоже непрерывна. Тогда сложная функция y=y[u(x)] непрерывна в т. .

Proоf:

Так как функция u(x) – непрерывна в т. x₀, то .

Т.к. функция y=y(u) – непрерывная при этих значениях u, то .

Таким образом, мы получили

или

, ч.т.д.

Note	Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Для непрерывных функций знак предела и функции можно менять местами, т.е. .

Ex.1. .

Def.	Функция y=f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X , если для любых , .