ГЛАВА 7. Теоремы о среднем

8.1. Теорема Ферма[13]

 

Т. (Теорема Ферма) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, если в т. функция достигает локального экстремума, то .

 

Note 1 Локальным экстремумом называют локальный («местный») максимум или минимум.

 

Proof:

 

Пусть в т. функция y=f(x) достигает локального максимума.

 


По определению производной .

 

Note 2 Приращение аргумента может быть любым, т.е. или .

1. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», а знаменатель знак «+».

2. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», и знаменатель знак «-».

 

Note 3 f '(c) – значение производной в т. с. Это значение не может быть одновременно меньше или больше нуля. Т.о. f '(c) =0, ч. т. д.

 

8.2. Теорема Ролля[14]

 

Т. (Теорема Ролля) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, если на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), то .

Proof:

По второй теореме Вейерштрасса – функция, непрерывная на отрезке, достигает своего максимального М и минимального m значения.

Возможны два варианта:

1. Пусть М=m на [a;b] функция .

Тогда в т. , ч.т.д.

2. Пусть , тогда по теореме Ферма (п.7.1.) , ч.т.д.

 

7.3. Теорема Лагранжа[15]. Геометрический смысл

 

Т. (Теорема Лагранжа) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, .

 

Proof:

 

Чтобы воспользоваться теоремой Роля (п.7.2.) введем вспомогательную функцию

.

Очевидно, что и , тогда по теореме Роля .

Но, производная .

В т. производная (по теореме Ролля).

Или , ч.т.д.

 

Геометрический смысл

 

Очевидно, что тангенс угла «наклона» хорды, соединяющей точки и к оси ОХ.

угловой коэффициент касательной к графику функции в т. .

Note Таким образом, тангенс угла «наклона» хорды равен угловому коэффициенту касательной в т. .

 

 








Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 900;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.