Необходимое и достаточное условие локального экстремума

 

Т.1 (Необходимое условие локального экстремума) Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности т. и имеет в т. x0 локальный экстремум, тогда

Proof:

 

По теореме Ферма, если в т. функция y=f(x) имеет локальный экстремум, то , ч.т.д.

 

Т.2 (Достаточное условие локального экстремума) Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда если в т. x0 и при переходе через т. x0 : 1. производная меняет знак с «+» на «-», то в т. x0 функция имеет локальный максимум; 2. производная меняет знак с «-» на «+», то в т. x0 функция имеет локальный минимум.

 

Proof:

 

1. Пусть в т. производная и пусть производная при переходе через т. x0 меняет знак с «+» на «- ».

По теореме Ферма функция y=f(x) в т. x0 имеет локальный экстремум. До т. x0 функция y=f(x) возрастает, а после т. x0 функция убывает.

Значит, в т. x0 функция имеет локальный максимум, ч.т.д.

 

Note Дома или на практическом занятии доказать вторую часть теоремы, т.е. если при переходе через т. x0 производная меняет знак с «- » на «+», то функция y=f(x) достигает локального минимума.

 








Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 998;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.