Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Теорема 2 (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на , , и выполняются условия:

1. ;

2. существует ,

тогда имеет локальный экстремум в точке , а именно

- локальный максимум, если ;

- локальный минимум, если .

Второе достаточное условие является частным случаем третьего достаточного условия локального экстремума.

Пусть функция определена на и раз дифференцирована в точке , и выполняются условия:

,

(1)

.

Воспользуемся для формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

, ,

которая, учитывая условия (1), принимает вид:

, . (2)

Запишем остаточный член в следующем виде:

, де .

Тогда из (2) получим:

. (3)

Поскольку , то для любых , достаточно близких к имеем:

.

Рассмотрим два возможных случая для значения .

1. Пусть - четное, т.е. . Допустим, что . Тогда при переходе через правая часть (3) будет сохранять знак «+», то есть при всех , достаточно близких к , имеем:

,

т.е. в точке функция имеет локальный минимум.

Аналогично получим, что когда и , то имеет в точке локальный максимум.

2. Пусть - нечетное, т.е. . Допустим, что . Тогда для в достаточно малой окрестности имеем:

, (4)

а для в достаточно малой окрестности имеем:

. (5)

Из (4) и (5) вытекает, что экстремума в точке нет.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема 3 (третье достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на , раз дифференцирована в точке , и выполняются условия (1). Тогда если - четное, то имеет локальный экстремум в точке (локальный максимум, когда , локальный минимум, когда ). Если - нечетное, то экстремума в точке нет.