Выпуклость и вогнутость графика функции

Def.1

График функции y=f(x) называется выпуклым в окрестности т. , если он находится «целиком» ниже касательной, проведенной в т. .

Таким образом, если в окрестности т. , то график функции y=f(x) – выпуклый.

Причем: – ордината касательной в т. ;

– ордината функции в т. .

Def.2

График функции y=f(x) называется вогнутым в окрестности т. , если он находится «целиком» выше касательной, проведенной в т. .

Т.1	Пусть функция y=f(x) определена и дважды дифференцируема в окрестности т. . Тогда, если в т. x0 : 1. , то график функции выпуклый;   2. , то график функции вогнутый;   3. , то график функции имеет перегиб.

Proof:

1. Пусть в т. .

Рассмотрим отрезок [x₀; x].

Уравнение касательной .

По теореме Лагранжа .

Вычтем из 2-го уравнения 1-е:

.

Применим для первого сомножителя правой части еще раз теорему Лагранжа

.

Учитывая знаки сомножителей в правой части:

– по условию (в окрестности т. x₀);

– по построению;

– по построению.

Тогда , т.е.

– ч.т.д.

Т.е. график функции «целиком» лежит ниже касательной в окрестности т. , т.е. он выпуклый, ч.т.д.