Статистический критерий проверки гипотез

Статистическим критерием K называют случайную величину, с помощью которой принимают решение о принятии или отклонении Н₀.

Замечание. Для проверки параметрических гипотез используют критерии значимости, основанные на статистиках: u, χ², t, F (приложения 5-7). Непараметрические гипотезы проверяют с помощью критериев согласия, использующих статистики распределений: , Колмогорова-Смирнова [1, 2, 6, 10] и т.д.

Например, Н₀: М(х)=10. В зависимости от альтернативной гипотезы рассматривают три случая.

1. Если

Рис 27. Двусторонняя критическая область

В этом случае рассматривают двустороннюю критическую область и используют дифференциальную функцию f (K/H₀), для определения соответствующих квантилей (границ области принятия гипотезы - левой (К_1-a/2) и правой (К_a/2)). Площадь под криволинейной трапецией дифференциальной функции слева от К_1-a/2 и справа от К_a/2 равна a/2.

Общая площадь ограниченная криволинейной трапецией дифференциальной функции, квантилями и осью абсцисс равна (1 - α) (рис. 27):

(11.1)

2. Если то рассматривается правосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией справа от К_a равна a) (рис. 28):

(11.2)

Рис. Правосторонняя критическая область

3. Если , то рассматривается левосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией слева от К_1-a равна a) (рис. 29):

(11.3)

Рис. Левосторонняя критическая область

Алгоритм проверки статистических гипотез состоит из следующих этапов:

Располагая выборочными данными ( ), формируют нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу Н_1.

Задают уровень значимости α (обычно принимают α =0,1; 0,01; 0,05; 0,001).

Рассматривается выборочная статистика наблюдений (критерий) К, обычно одна из перечисленных ниже:

u - нормальное распределение;

χ²- распределение Пирсона (хи – квадрат);

t - распределение Стьюдента;

F - распределение Фишера - Снедекора.

4. На основании выборки - определяют значение критерия (статистики) К (приложения 5-7). В зависимости от вида альтернативной гипотезы выбирают по соответствующей таблице квантили критерия для двусторонней или односторонней области (К_1-a или К_a) (приложения 1-4). Если значения критерия попадают в критическую область, то H₀ отвергается; в противном случае принимается гипотеза H₀ и считается, что Н₀ не противоречит выборочным данным (при этом существует возможность ошибки с вероятностью равной a).

Следует отметить, что возможность принятия гипотезы происходит из принципа невозможности наступления маловероятных событий. Те же события, вероятность которых близка к 1, принимаются за достоверные. Возникает проблема выбора уровня риска (уровня значимости a).

В одних случаях возможно пренебрегать событиями р<0,05, в других нельзя пренебрегать событиями, которые могут появиться с р=0,001 (разрушение сооружений, транспортных средств и т.д.).