Однофакторный дисперсионный анализ.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных вариантов эксперимента, организуемого для проведения дисперсионного анализа: однофакторный, двухфакторный и трехфакторный анализ с разным числом уровней факторов и разным числом опытов на каждом уровне.

Однофакторный эксперимент (один фактор А)

Значения измеряемого признака – Х .

1.Эксперимент на двух уровнях, i =1,2 (рис а):

- без повторных опытов, m = 1;

- c повторными опытами, одинаковое число опытов на каждом уровне,

m = 1,2,…,n.

- c повторными опытами, разное число опытов на каждом уровне

m = 1,2,…,n .

2.Эксперимент на нескольких уровнях, i =1,2,…,a (рис.б):

- без повторных опытов, m = 1;

- c повторными опытами, одинаковое число опытов на каждом уровне

m = 1,2,…,n;

- c повторными опытами, разное число опытов на каждом уровне

m = 1,2,…, n .

а) б)

Рис.Точки эксперимента в однофакторном анализе: а) два уровня А , i =1,2; б) несколько уровней А , i =1,2,…,a

Таблица представляет исходные данные однофакторного эксперимента на двух уровнях с одинаковым числом повторных опытов. Число групп (H) равно числу уровней: A , A ; i=1,2.

Данные для однофакторного анализа, равное число опытов

Уровни (группы)	Результаты опытов: X , m = 1,2,…n
X	…	X	…	X
A	X	…	X	…	X
A	X	…	X	…	X

Лекция 2 Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.

Двухфакторный эксперимент (факторы А и В)

Значения измеряемого признака - Х .

Эксперимент на нескольких уровнях, i =1,2,…,a; j = 1,2,…,b:

- без повторных опытов, m = 1;

- c повторными опытами, одинаковое число опытов на каждом ij- уровне, m = 1,2,…,n;

- c повторными опытами, разное число опытов на каждом ij-уровне, m = 1,2

Таблица 1Данные для двухфакторного анализа на двух уровнях, разное число опытов

№ строки (группы)	Сочетания уровней А В	Результаты опытов: Х ; m = 1,2,…n
X	…	X	…	X	X
	1; 1	X	…	X	…	X	X
	1; 2	X	…	X	_	_	_
	2; 1	X	…	X	…	X	X
	2; 2	X	…	X	…	X	_

Таблица 2 Данные для двухфакторного анализа на нескольких уровнях, равное число опытов

№ строки	Сочетания уровней А В	Наблюденные значения признака в группах, X
1-й опыт	…	m- опыт	…	n-опыт
	1; 1	X	…	X	…	X
	1; 2	X	…	X	…	X
…	…	…	…	…	…	…
ij	i; j	X	…	X	…	X
…	…	…	…	…	…	…
H	а; b	X	…	X	…	X

Число групп (H) равно числу перестановок уровней: ij = 1,2,…,H

Модель однофакторного дисперсионного анализа.

Основное уравнение дисперсионного анализа:

SS = SS + SS_ε (12.7)

Одинаковое число повторных опытов (m = 1,2,…,n):

SS = (12.8)

где SS - общая сумма квадратов разностей наблюдений и их среднего значения;

SS = n (12.9)

где SS - сумма квадратов между группами (вклад в общую сумму квадратов, обусловленный различиями в уровнях фактора А);

SS = , (12.10)

где SS - сумма квадратов внутри групп – остаток, вклад в общую сумму квадратов, вызванный случайной изменчивостью данных внутри групп (или сумма квадратов случайных эффектов - ошибка опыта).

= , (12.11)

где - общее среднее, N = an – общее число опытов;

= , (12.12)

где - среднее значение на i уровне фактора А.

Разное число повторных опытов (m =1,2,…,n ):

SS = ; SS = ; SS = ; (12.13)

= ; N = ; = (12.14)

Оценки дисперсий и определение числа степеней свободы

S = - оценка общей дисперсии; ν = N - 1 - число степеней свободы при определении общей дисперсии;

S = - оценка дисперсии по уровням фактора А; ν = a –1 - число степеней свободы фактора А;

S = - остаточная оценка дисперсии (дисперсия ошибки);

ν = N – a - число степеней свободы при определении ошибки.

ν = ν + ν = N – 1 = ( a –1) + (N – a) (12.15)

Проверка H - гипотезы

Расчетное значение критерия:

F = . (12.16)

Критическое значение F определяется по прил.4 при α, ν = ν и ν = ν . Если

F F при α , ν , ν , (12.16)

то гипотеза H - принимается. В противном случае – отклоняется.