Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные x(х0,у0) и f у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+ x, y0+ у), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

f(х0,у0) = f(x0+ x,y0+ y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

f(х0,у0) = f x(х0,у0) x + f у(х0,у0) у + ( + ( x; у) у, (1)

где , то функция называется дифференцируемойв точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

df(x0,y0) = f x(х0,у0) x + f у(х0,у0) у. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагаяпоочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно dx и у . Таким образом

df = f x + f у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,



Рис.1 Поверхность функции z=f(x,y)

 

то есть = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+ у); (x0+ x,y0) и (x0+ x, y0+ у), причём = f(Q0), S0S = f(S0) и = f(R0). Приращение f(х0,у0) функции в точке Р0 равно

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости.

Очевидно: çQ2Q1ç = f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç = f¢x(x0,y0)Dx.

Из легко доказываемого равенства

çR2R1ç = çS2S1ç + çQ2Q1ç

и формулы (2) df(x0,y0) = x(х0,у0)Dx + у(х0,у0)Dу. следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.

Так как df(x0,y0) »Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

 








Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 951; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2019 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.