Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M₀(x₀,y₀). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x₀ + t cosa, y = y₀ + t sina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y₀)/(x - x₀) = tga

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M₀(x₀,y₀) и составляющей угол a с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M₀(x₀,y₀) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

l.Производной функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀)по направлению l называется число

. (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y)вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M₀(x₀,y₀)равен производной функции в этой точке по направлению l.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

. (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M₀(x₀,y₀)является его начальной точкой, а M₁(x₁,y₁)‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x₁ ‑ x₀, а координату по оси , как число, равное y₁ ‑ y₀. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (j‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

= a₁b₁ + a₂b₂. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOYзадана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f(x,y)в точке M₀(x₀,y₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y)по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M₀(x₀,y₀) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀)достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb £1, и равенство достигается только если b = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb = 1 нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции z= по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Решение. Найдём частные производные функции:

;

Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3):

Принимая во внимание, что cos , sin = т.е. , воспользуемся формулой производной по направлению , получим: