Логарифмическая производная

При нахождении производных от показательно-степенных функций вида , а также других громоздких функций, допускающих логарифмирование, удобно применить логарифмическую производную.

Определение: Логарифмической производной от функции y = f(х) называется производная от логарифма этой функции: . Выведем формулу для вычисления производной показательно-степенной функции или .

Прологарифмируем обе части равенства, и воспользуемся свойством логарифма . Получаем:

, , .

Продифференцируем обе части равенства и используем правило дифференцирования произведения двух функций:

, , , или окончательно получаем формулу , которую можно использовать для вычисления производной показательно-степенной функции вида .

Пример 1. Вычислить производные данных функций: 1) , 2) .

Решение: 1) , пусть и . Тогда и . Подставим эти выражения в полученную формулу

. Получаем .

2) , пусть и , тогда и . Получаем = .