Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

Пусть u = u(x) и v = v(x) дифференцируемые функции, тогда:

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений каждого из сомножителей на все остальные

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

,

Пример 1. Найти производную функции y = f(x) и вычислить ее значение в точке х = 1:

а) ; б) ; в) .

Решение: а) ,

.

б) , применим правило дифференцирования произведения двух функций и формулы для степенных функций и . Получаем:

= = = = = .

в) , применим правило дифференцирования частного двух функций и формулы для степенных функций и . Получаем:

=

= .

Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой в точке х = 1.

Решение: используя геометрический смысл касательной, запишем уравнение касательной в виде: . Для этого найдем производную функции и её значение в точке х₀ = 1.

, . А также необходимо найти . Найденные значения подставляем в формулу: , или .

Ответ: уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .