Определение производной

Определение 2.1Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Предел отношения приращения Dу функции в этой точке (если он существует) к приращению Dх аргумента, когда Dх ® 0, называется производной функции f(x) в точке х₀.

Обозначения: или

.

Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой очке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона), проведенной к кривой y = f(x) в точке х₀, т.е. .

Тогда уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M(х₀, f(x₀)) примет вид

или .

Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y = f(x) в точке M(х₀, f(x₀)) имеет вид:

.

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : , а производная скорости по времени есть ускорение точки в момент : .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .