ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.

В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.

Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.

Пример 47. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми и .

Решение: Выполним чертеж. Графиком является парабола,

ветви которой направлены

вниз (знак “ - “ перед ) и

приподняты на 2 единицы

(рис. 1).

Искомая площадь симметрична

относительно оси ,

следовательно, можно

вычислить половину площади

и удвоить результат.

.

Рис. 1

Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :

,

согласно формуле (1г), табл. получим

; (кв. ед.)

Пример 48. Вычислить площадь, ограниченную линией

, .

Решение: В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.

.

Пример 49. Вычислить площадь, ограниченную линией .

Решение: Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой (1д), табл.

Пределы интегрирования не заданы,

поэтому необходимо сделать чертеж

(рис. 2). Линию

построим по точкам, давая значения

через равный промежуток, например,

, начиная от до .

Вычислим искомой площади.

Рис. 2

(кв. ед.).

Пример 50. Найти длину дуги , отсеченную прямой .

Решение: Уравнение линий заданы в декартовых координатах.

Воспользуемся формулой (2а),

табл. .